Япредлагаю товарищу записать любое трехзначное число, состоящее из различных цифр( без нуля пусть он теперь переставит цифры этого числа в любом порядке и получит новое число. пусть меньшее из этих двух чисел он вычтет из большего числа, зачиркнет одну цифру в полученной разности и назовет мне сумму незачеркнутых цифр. тогда я смогу легко определить, какую цифру зачеркнул мой товарищ. объясните с признакам делимости на 9 этот фокус.

Если 3-значное число авс  записать в виде 100а+10в+с при перестановке цифр в любом порядке мы получим еще пять чисел, кроме авс: асв, вас, вса, сав, сва. их также можно записать в таком же виде: 100а+10с+в 100в+10а+с 100в+10с+а 100с+10а+в 100с+10в+а если от первоначального числа вычитать все остальные (возможные отрицательные значения разности не будем принимать во внимание, т.е. результат возьмем по модулю, то получим следующие значения: авс-асв=100а+10в+с -100а-10с-в=9в-9с=9(в-с), т.е. число делится на 9, а значит сумма его цифр делится на 9. таким образом можно убедится, что разности всех чисел делятся на 9. поскольку сумма числа, которое делится на 9, всегда делится на 9, то если вычеркнуть одну из цифр этого числа, сумма незачеркнутых цифр составит разность между 9 и вычеркнутой цифрой.  

Павел Петрович, Александр Павлович, Николай Павлович, Александр Николаевич, Александр Александрович, Николай Александрович.

Пошаговое объяснение:

Павел Петрович не мог быть никому из них сыном или братом. У него одного только отчество Петрович. Значит он был первым. Тогда у него было два сына: Александр Павлович и Николай Павлович. См. рис.1

Последний был Николай. Николай Павлович, как выяснили, был или вторым, или третьим. Значит, последним был Николай Александрович. См. рис.2

Осталось двое: Александр Александрович и Александр Николаевич. Если бы Александр Александрович был сыном Александр Павловича, то Александр Николаевич не мог бы быть его сыном. Значит, сын был у Николай Павловича. См. рис.3

Ну и поскольку сыновья следовали сразу за отцами, получаем окончательный порядок следования. См. рис.4

780 = 2² · 3 · 5 · 13

140 = 2² · 5 · 7

21 = 3 · 7

1) НОД (780; 140; 21) = 1 - наибольший общий делитель

Числа 780, 140 и 21 взаимно простые, так как у них нет общих делителей, кроме единицы.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

38 = 2 · 19

78 = 2 · 3 · 13

98 = 2 · 7²

2) НОД (38; 78; 98) = 2 - наибольший общий делитель

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

49 = 7²

70 = 2 · 5 · 7

280 = 2³ · 5 · 7

3) НОД (49; 70: 280) = 7 - наибольший общий делитель

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

12 = 2² · 3

68 = 2² · 17

96 = 2⁵ · 3

4) НОД (12; 68; 96) = 2² = 4 - наибольший общий делитель

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

330 = 2 · 3 · 5 · 11

880 = 2⁴ · 5 · 11

110 = 2 · 5 · 11

5) НОД (330; 880; 110) = 2 · 5 · 11 = 110 - наибольший общий делитель