пошаговое объяснение:
дано: y = (x²+4)/x
исследование.
1. область определения: d(y)= r\{0} , x∈(-∞; 0)∪(0; +∞). не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. разрыв ii-го рода при х = 0. вертикальных асимптота - х = 0.
3. наклонная асимптота: k = lim(+∞)y(x)/x = 1
b = 0 и y(x) = x - асимптота.
4. нули функции, пересечение с осью ох.
x²+4 = 0 . нулей функции нет.
5. интервалы знакопостоянства.
отрицательна: y(x)< 0 - x∈(-∞; 0). положительна: y> 0 - x∈(0; +∞; )
6. проверка на чётность.
функция нечётная: y(-x) = -y(x) ,
7. поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 2 - (x²+4)/x² = (x²-4)/x² = 0.
x² - 4 = (x - 2)*(x+2) = 0
x1 = -2, x2 = 2 - точки экстремумов.
8. локальный максимум: y(-2) = - 4, минимум: y(2) = 4.
9. интервалы монотонности.
возрастает - x∈(-∞; -2)∪(2; +∞). убывает: x∈(2; 0)∪(0; 2).
10. поиск перегибов по второй производной.
y"(x) = 2/x - 2*(x²-4)/x³ = 8/x³ = 0
точки перегиба нет, кроме разрыва при х = 0.
11. вогнутая - "ложка"- x∈(0; +∞; ), выпуклая - "горка" - x∈(-∞; 0);
12. область значений. e(y) - y∈(-∞; +∞).
13. график функции на рисунке в приложении.
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос: