Одно слагаемое меньше другого на 18

Покажем, что у начинающего игрока существует выигрышная стратегия. На первом ходу он должен взять из кучи 10 камешков. В куче остаётся 2012 - 10 = 2002 камешков. Далее, на всех последующих ходах сколько бы камешков ни взял второй игрок, первый игрок дополняет их количество до 11. То есть, к примеру, второй игрок взял 1 камешек, первый игрок берёт 10 или же если второй взял 5 камешков, первый должен взять 6. Тогда, так как 2002 = 11*182, после 181-го хода в куче остаются 11 камешков и как бы ни сыграл второй игрок, на 182-м ходу начинающий игрок побеждает.

ответ: Выигрышная стратегия имеется у начинающего игрока.

40 | 2                        70 | 2                        30 | 2

20 | 2                        35 | 5                        15 | 3

10 | 2                         7 | 7                           5 | 5

5 | 5                           1                                1

1                                 70 = 2 · 5 · 7             30 = 2 · 3 · 5

40 = 2³ · 5

НОК = 2³ · 3 · 5 · 7 = 840 - наименьшее общее кратное

840 : 40 = 21 - доп. множ. к 7/40 = 147/840

840 : 70 = 12 - доп. множ. к 11/70 = 132/840

840 : 30 = 28 - доп. множ. к 13/30 = 364/840

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7/40 + 11/70 + 13/30 = 147/840 + 132/840 + 364/840 = 643/840

ответ: 643/840.