Заработная плата двух мастеров за один день равна 13000 тг. заработная плата первого мастера за 5 дней на 15500 тг больше, чем заработная плата второго мастера за 4 дня. сколько тенге получает каждый мастер в день?

Пусть х тг зароботная плата первого мастера за день,  а у тг - второго. составляем систему уравнений: х+у = 13000 5х - 4у = 15500   у = 13000-х 5х-4*(13000-х) = 15500   5х-52000+4х = 15500 5х+4х = 15500+52000 9х = 67500 х = 67500: 9 х = 7500 (тг)- зароботная плата первого мастера за один день. 13000-7500 = 5500 (тг)- зароботная плата второго.   ответ: 7500 тенге получает первый мастер в день, 5500 тенге - второй.     

Надо составить систему   х-первый,у-второй х+у=13000 5х-4у=15500 х=13000-у 5(13000-у)-4у=15500 -9у=-49500 у=5500 - второй х=13000-5500 х=7500-первый

пусть точка m(x, y) принадлежит линии, о которой идет речь. тогда расстояние между точками м(х, у) и а(2,3) найдем по формуле:

am = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}= \sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}am=

(x

2

−x

1

)

2

+(y

2

−y

1

)

2

=

(x−2)

2

+(y−3)

2

расстояние от точки м до заданной прямой найдем, используя формулу расстояния между точкой (x_0; y_0)(x

0

; y

0

) и прямой, заданной уравнением ax+by+c=0:

l= \frac{|ax_0+by_0+c|}{ \sqrt{a^2+b^2} }l=

a

2

+b

2

∣ax

0

+by

0

+c∣

тогда расстояние между прямой х-14=0 и точкой м(х, у):

l= \frac{|1*x+0*y-14|}{ \sqrt{1^2+0^2} } = \frac{|x-14|}{1}=|x-14|l=

1

2

+0

2

∣1∗x+0∗y−14∣

=

1

∣x−14∣

=∣x−14∣

по условию 2|x-14|= \sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}2∣x−14∣=

(x−2)

2

+(y−3)

2

4(x^2-28x+196)=x^2-4x+4+(y-3)^24(x

2

−28x+196)=x

2

−4x+4+(y−3)

2

4x^2-112x+196*4-x^2+4x-4-(y-3)^2=04x

2

−112x+196∗4−x

2

+4x−4−(y−3)

2

=0

3x^2-108x+195*4-(y-3)^2=03x

2

−108x+195∗4−(y−3)

2

=0

3(x^2-36x+4*65)-(y-3)^2=03(x

2

−36x+4∗65)−(y−3)

2

=0

3(x^2-2*18x+324-324+260)-(y-3)^2=03(x

2

−2∗18x+324−324+260)−(y−3)

2

=0

3(x^2-2*18+324-64)-(y-3)^2=03(x

2

−2∗18+324−64)−(y−3)

2

=0

3(x^2-2*18x+324)-3*64-(y-3)^2=03(x

2

−2∗18x+324)−3∗64−(y−3)

2

=0

3(x-18)^2-192-(y-3)^2=03(x−18)

2

−192−(y−3)

2

=0

3(x-18)^2-(y-3)^2=1923(x−18)

2

−(y−3)

2

=192

\frac{(x-18)^2}{64}- \frac{(y-3)^2}{192} =1

64

(x−18)

2

−

192

(y−3)

2

=1

\frac{(x-18)^2}{8^2}- \frac{(y-3)^2}{(8 \sqrt{3} )^2} =1

8

2

(x−18)

2

−

(8

3

)

2

(y−3)

2

=1

это гипербола с центром в точке (18; 3)

1(7  )  точка  o —  центр  квадрата  abcd.  найдите  какие-нибудь  семь попарно неравных векторов с концами и началами в точках a, b, c, d, о, сумма которых равна нулевому вектору. объясните свой ответ. решение например, подойдёт: oa+ac+cd+da+ab+bd+do=0 2 (7 ) можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6? ответ. нет. решение. если требуемое в возможно, то числа, кратные шести, должны разбиться на пары. так как 800 = 133 ⋅ 6 + 2, чисел от 1 до 800, кратных шести, ровно 133. противоречие: 133 числа нельзя разбить на пары. замечание. среди чисел от 1 до 800 остаток 0 при делении на 6 133 числа, остаток 1 — 134 числа, остаток 2 — 134 числа, остаток 3 — 133 числа, остаток 4 — 133  числа,  остаток 5 — 133  числа.  следовательно,  противоречие  также можно  получить  иначе.  например,  число,    остаток 1,  должно  быть в паре с числом, остаток 5. значит, таких чисел должно быть поровну, что не так. 3 (7  )  участвуя  в  шахматном  турнире,  вася  сыграл 52  партии.  по старой системе подсчёта очков (1 очко за победу, ½ очка за ничью и 0 очков за поражение)  он  набрал 35  очков.  сколько  очков  он  набрал  по  новой  системе подсчёта очков (1 очко за победу, 0 очков за ничью и –1 очко за поражение)? ответ. 18 очков. решение первый способ. пусть вася в турнире a раз победил, b раз сыграл вничью и c раз проиграл. тогда a + b + c = 52, a + b/2 = 35. нужно найти значение a – c. из второго  соотношения  следует,  что  b = 70 – 2a.  тогда  a + (70 – 2a) + c = 52, откуда 70 + c – a = 52, a – c = 18. второй способ. при системе подсчёта (1; ½ ; 0) вася набрал 35 очков,  значит, при системе (2; 1; 0) он наберёт вдвое больше, то есть 70 очков. при  системе (1; 0; –1)  вася  теряет  по  одному  очку  в  каждой  партии (по сравнению с системой (2; 1; значит, он наберёт 70 – 52 = 18 очков. 4 (7  )  на  координатной  плоскости  изображены  графики  функций y= x2+bx+c и y=x2+cx+b. найдите значения b и c. в ответе запишите уравнения каждой из функций. рисунок к 4 ответ. y = x2+2x-3 и y=x2-3x+2 решение некоторое  число  t  является  корнем  обоих  трёхчленов, поэтому t2+bt+c=t2+ct+b, откуда (b-c)(t-1)=0. так  как  b≠c (иначе  параболы совпадут),  получаем,  что t =1. если  парабола y=x2+bx+c пересекает ось абсцисс в точках -3 и 1, то по теореме, обратной виета b=+1)=2, c=-3∙1=-3. 5 (7 ) две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. найдите угол при третьей вершине. ответ. 60°. решение рассмотрим  треугольник  aвс,  в  котором проведены  высоты aa1  и  bb1.  пусть точка  h — точка пересечения высот, точка  i — центр вписанной окружности. сумма углов четырёхугольника a1hb1c равна 360°. получаем  ∠ahb = ∠a1hb1  = 360° – 90° – 90° – ∠c = 180° – ∠c. по теореме о  сумме  углов  треугольника  имеем  соотношения ∠a + ∠b + ∠с = 180° (для  треугольника  abc)  и  ∠a/2 + ∠b /2 +∠aib=180° (для треугольника abi). отсюда точки a,  b,  h  и  i  лежат  на  одной  окружности.  так  как  треугольник  aвс остроугольный,  точки  h  и  i  лежат  по  одну  сторону  от  хорды  ab,  то  есть вписанные углы aib и анв опираются на одну и ту же дугу.значит,  ∠aib = ∠ahb, откуда 90°+∠c/2=180°-∠c, а значит  ∠c = 60°. замечание. если ученик ссылается на результаты пунктов 1 и 2 решения как на общеизвестные, то не снижать. в целом  верный  ход  решения,  но  упущено  обоснование  того,  что  углы aib  и  анв  опираются  на  одну  и  ту  же  дугу (не  использовано  то,  что треугольник остроугольный), — 5 . в целом  верный  ход  решения,  но  при  решении  уравнения  90°+∠c/2=180°– ∠c  допущена  ошибка  и  получен  неверный  ответ — 5 . пункты 1 и 2 решения, но дальнейшего продвижения нет или  оно ошибочно — 2 . только  пункт 1  или  только  пункт 2  решения,  но  дальнейшего  продвижения нет или оно ошибочно — 1 . только ответ — 0 . 6 (7 ) петя показал васе 37 внешне одинаковых карточек, выложенных в ряд. он сказал, что на закрытых сторонах карточек записаны все числа от 1 до 37 (каждое  по  одному  разу)  так,  что  число  на  любой  карточке  начиная  со второй является делителем суммы чисел, написанных на всех предшествующих карточках. затем петя показал васе, что на первой карточке написано число 37, а на второй — число 1. вася сказал, что он тогда знает, какое число написано на третьей карточке. какое? ответ. 2. решение сумма  всех  чисел,  кроме  последнего,  делится  на  последнее  число, значит, сумма всех чисел также делится на последнее число. сумма всех чисел от 1 до 37 равна  19 ⋅ 37. значит, последнее число равно 1, 19 или 37. так как 1 и 37  стоят на первом и  втором местах, последнее  число — 19. третье  число — делитель числа 37 + 1 = 38, то есть оно равно 1, 2 или 19. мы знаем, что числа 1 и 19 расположены не на третьем месте, поэтому на третьем месте стоит число 2. замечание. приводить пример, как расположены числа на остальных карточках (или доказывать его существование), не требуется.