Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 5 до 25

получается число 646300418472124416000000

число оканчивается н 6 нолей

Рассмотрим сначала числа со старшим разрядом единиц (в обратном порядке):             сумма количества цифр: 1 + 2 = 3 , количество цифр у квадрата числа вдвое больше количества цифр исходного числа.             искомая сумма: 1 + 2 = 3 , количество цифр у квадрата числа всё так же вдвое больше количества цифр исходного.             искомая сумма: 1 + 1 = 2 , количество цифр у квадрата равно количеству цифр исходного.             искомая сумма: 1 + 1 = 2 , количество у квадрата равно количеству цифр исходного. теперь переходим к старшему разряду десятков (в обратном порядке):             сумма: 2 + 4 = 6 , количество цифр у квадрата вдвое больше количества цифр исходного.             сумма: 2 + 4 = 6 , цифр у квадрата всё так же вдвое больше количества цифр исходного.             сумма: 2 + 3 = 5 , цифр у квадрата числа: 3 = 4–1 .             сумма: 2 + 3 = 5 , цифр у квадрата: 3 = 4–1 . далее переходим к старшему разряду сотен (в обратном порядке):             сумма: 3 + 6 = 9 , цифр у квадрата вдвое больше.             сумма: 3 + 6 = 9 , цифр у квадрата вдвое больше.             сумма: 3 + 5 = 8 , цифр у квадрата числа: 5 = 3*2–1 .             сумма: 3 + 5 = 8 , цифр у квадрата числа: 5 = 3*2–1 . ну и ещё переходим к старшему разряду тысяч (в обратном порядке):             сумма: 4 + 8 = 12 , у квадрата вдвое больше.             сумма: 4 + 8 = 12 , у квадрата вдвое больше.             сумма: 4 + 7 = 11 , цифр у квадрата: 7 = 4*2–1 .             сумма: 4 + 7 = 11 , цифр у квадрата: 7 = 4*2–1 . а теперь всё обобщим на самый общий случай. если бы число записывалось единицей с r нолями, то его квадрат содержал бы уже 2r нолей, при этом в исходном числе было бы (r+1) цифр, а в квадрате числа – (2r+1) цифр. пусть у нас старший разряд таков, что во всём числе только r цифр, рассмотрим всё, как обычно в обратном порядке: (  99999 : : : r цифр : : : 99999  )    –    это число на единицу меньше, чем число        (  100000 : : : r нулей : : : 00000  )        , в котором (r+1) цифр. квадрат числа [(  99999 : : : r цифр : : : 99999  )]      –    это число, меньшее, чем число        (  100000 : : : 2r нулей : : : 00000  )        , в котором (2r+1) цифр. значит, квадрат числа (  99999 : : : r цифр : : : 99999  ) содержит ровно 2r цифр, а всего само число и его квадрат содержат 3r цифр. в числе (  400000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )  содержится r цифр. квадрат числа [(  400000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )]  = =  (  1600000 : : : (2r–2) нулей : : : 00000  )  содержит 2r цифр, а всего само число и его квадрат содержат 3r цифр. в числе (  300000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )  содержится r цифр. квадрат числа [(  300000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )]  = =  (  900000 : : : (2r–2) нулей : : : 00000  )  содержит (2r–1) цифр, а всего само число и его квадрат содержат (3r–1) цифр. в числе (  100000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )  содержится r цифр. квадрат числа [(  100000 : : : (r–1) нулей : : : 00000  )]  = =  (  100000 : : : (2r–2) нулей : : : 00000  )  содержит (2r–1) цифр, а всего само число и его квадрат содержат (3r–1) цифр. и так будет для любого r r = 1    : : :   сумма: 3r = 3 или (3r–1) = 2 . r = 2    : : :   сумма: 3r = 6 или (3r–1) = 5 . r = 3    : : :   сумма: 3r = 9 или (3r–1) = 8 . r = 4    : : :   сумма: 3r = 12 или (3r–1) = 11 . r = 5    : : :   сумма: 3r = 15 или (3r–1) = 14 .   . . r = 32    : : :   сумма: 3r = 96 или (3r–1) = 95 . r = 33    : : :   сумма: 3r = 99 или (3r–1) = 98 . r = 34    : : :   сумма: 3r = 102 или (3r–1) = 101 . r = 35    : : :   сумма: 3r = 105 или (3r–1) = 104 . и т.д и т.п. как легко видеть, в этой последовательности: 2, 3,  5, 6,  8, 9,  11, 12,  14, 15 95, 96,  98, 99,  101, 102,  104, 105 пропущены определённые числа. пропущенные числа: 1, 4, 7, 10, 13, 16 94, 97, 100, 103, 106 подчиняются закону (3r+1). в самом деле, между предыдущим и последующим значениями, кратными трём, всегда содержатся два целые числа, а искомой суммой, помимо 3r, может быть только одно из них: (3r–1) . поэтому, значения, подчиняющиеся закону (3r+1) не могут быть искомым результатом. так, например, число 99 – кратно трём ( 99 = 3*33 ), а значит, число    100 = 3*33+1    никак не могло бы оказаться в расчётах лены. о т в е т : у лены не могли получиться результаты, подчиняющиеся закону (3r+1) , где r – какое угодно целое число. ну и, конечно, все результаты лены могут быть только положительными, поскольку это количества, т.е. натуральные величины. в частности, у неё не могло получиться число 100.

Турецко-татарский гнет и его гибельные последствия для кавказских народов издавна вызывали стремления обрести по-мошь государства, сблизиться с россией. еще в xiv-xv вв. постепенно восстанавливались культурные и политические связи руси со странами кавказа. летопись говорит о разорении, причиненном нашествием татаро-монгольских полчищ кавказа ("про сих же слышахом, яко многи страны поплениша: ясы, обезы и "). с большой осведомленностью летописец сообщает о "страшном море в восточных странах". в 1346 г. от этого "мора" пострадали обезы, черкесы, армяне, грузины и др. рассказывает летописец и об опустошительных завоеваниях на кавказе тамерлана2. свержение татаро-монгольского ига народом имело всемирно- значение. это событие произвело сильное впечатление на востоке и изумило западную европу. ликвидация обломочных золотоордынских ханств на великом волжском пути - казани (в 1552 г.) и астрахани (в 1556 г.) укрепило и политические позиции централизованного государства. с этого времени возросло международное значение россии в восточных и европейских делах. были восстановлены традиционные связи между россией и кавказа. опыт борьбы с татаро-монголами и другими завоевателями показал кавказа, что россия не только умеет постоять за себя, но и оказать другим . " централизованное государство сыграло огромнейшую роль в судьбах , украинского, и других народов нашей страны. с самого начала своего возникновения оно явилось притягательным центром и опорой для братских народов, боровшихся против иноземных поработителей"3. 1 христо ботев. публицистика. м. 1953, стр. 36.2 очерки . период феодализма. т. п., м., 1953, стр. 743.3 тезисы о 300-летии воссоединения украины с россией (1654-1954 "правда", 1954, 12 января. во второй половине xvi века турецко-татарская политика на северном кавказе активизировалась. присоединение казанского и астраханского ханств открыло россии путь в страны ближнего и среднего востока. предвидя это, турция в течение всей первой половины xvi века усиленно, но безуспешно стремилась сколотить блок из крымского, казанского и астраханского ханств. россия не только помешала организации такого б тока, но и преградила турции дальнейший путь на север, закрепив свои позиции в поволжье и войдя в тесные и дружественные отношения с кавказа, а также установив выгодные для обеих сторон торговые связи с ираном. наличие общего врага- турции способствовало некоторому сближению россии и ирана в xvi - xvii вв. турецкие агрессоры постоянно угрожали южным районам россии, а крымский хан - центру централизованного государства - москве. "она (москва) да будет неодолимою преградою для хана, а если не удержит, то заградите ему путь к москве своею грудью! "-так наставлял свое войско иван iv. в этой обстановке рождается идея сближения и союза россии с кавказа, которые также искали союзников и друзей для отражения иноземных, в основном турецких, нашествий. связи адыгеи с россией в xiii-xv вв. были крайне затруднены из-за татаро-монгольских завоеваний: опорный пункт киевской руси на таманском полуострове - тмутаракань уже перестал быть владением. новый этап во взаимоотношениях адыгов с россией начинается с середины xvi века. в россии в это время усиливался обмен между отдельными областями, и небольшие местные рынки начали постепенно концентрироваться в один всероссийский рынок. учитывая неизбежность обострения отношений с турцией и ираном, иван iv непрерывно укреплял свои позиции на северном кавказе. в 1557 г. адыгейские и кабадринские земли были добровольно присоединены к россии. был положен первый кир-пич в здание адыгейско-кабардинско-черкесско- дружбы. в 1563 году на реке терек возникло одно из первых укреплений - терки, по просьбе кабардинского князя темрюка идаровича. в 1567 г. был построен сунженский острог при устье реки сунжи (в 1571 году, по требованию турции, это укрепление было снесено). по просьбе кабардинских князей в 1577 году на тереке вновь появился "терский город". в 1588 году на правом рукаве устья терека был построен тюменский городок. государство умело использовало ситуацию кавказа для борьбы с такими опасными противниками, какими являлись турция и иран в xvi-xviii вв. в этих условиях иван iv выступал как прогрессивный деятель, опытный дипломат царской, феодальной россии.