Определение понятия "нименьший делитель"

назовем |x-1|+|x-4|=y рассмотрим три промежутка значений x:

1) x> =4, тогда y=2x-5, коэффициент при x положителный, следовательно минимальное значение y достигает при минимальном значении x=4 (y=3)

2) 1< x< 4, тогда y=3

3) x< =1, тогда y=-2x+5, коэффициент при x отрицательный, следовательно минимальное значение y достигает при максимальном значении x=1 (y=3)

рассмотрев все случаи получаем, что минимальное значение выражение y=3 принимает при x принадлежащем отрезку [1; 4], следовательно длина отрезка - 3.

мы рассматриваем числа в десятичной системе. это означает, что "цена" разряда - последовательные степени десятки. например, число из примера можно расписать так:

можно заметить, что все слагаемые в этой сумме, кроме последнего, делятся на 10 (в данном случае второе с конца равно 10c, третье 100b, четвертое 1000a. но и в общем случае ситуация, очевидно, не меняется).

остаток от деления натурального числа x на натуральное число y - такое целое число r, , делится на 10, значит, d - остаток от деления исходного числа на 10.

а из того, что

следует, что после деления на 10 целая часть от деления (q в выше обозначениях) - это исходное число, но с отброшенной последней цифрой. для этого числа всё написанное тоже выполняется, поэтому следующий остаток - c, а следующее неполное частное - исходное число без двух последних цифр. ну и так далее, пока не получится число из одной цифры, она и будет последним остатком, дальше пойдут нули.

если хочется немного более формального оформления, можете погyглить, что такое принцип индукции. по сути, описанное - как раз он, и из него следует, что доказанное утверждение справедливо не только для чисел с не более чем четырьмя цифрами, а вообще для всех натуральных чисел.