Проверка примера 986 : 8 в столбик

 _ 986/8     
    8    /123,25
  _18
    16 
    _ 26
       24
       _20
         16
         _40
           40
             0

84

Пошаговое объяснение:

Треугольник является прямоугольным, значит, у него два катета a и b, гипотенуза c. По условию одна из сторон 12 (единицу можно выбрать произвольное). Эта сторона будет катетом, в противном случае, если эта сторона гипотенуза c, то из-за ограничения для катетов a<c и b<c максимально возможный периметр также ограничивается. Поэтому наименьший катет, пусть этот катет будет a, выберем как a=12.

Так как треугольник прямоугольный, то верна теорема Пифагора

c² = a² + b² или c² -  b²= 12² или (c - b)·(c + b)= 144.

С другой стороны, из условия существования треугольника (другое название - неравенство треугольника) получаем

a + c > b

b + c > a

a + b > c

Из последнего неравенства вытекает, что 12 > c - b.

Теперь рассмотрим (c - b)·(c + b)= 144. Из того, что длины сторон треугольника являются целыми числами (вообще то натуральными числами), то (c - b) и (c + b) также являются натуральными числами.

Обозначим c - b = х. Отсюда c = x + b. Тогда

Отсюда следует, что х - чётное и является делителем 72.

Учитывая 12 > c - b и то, что чем меньше c - b, тем больше периметр, рассмотрим разложение числа 144 на чётные множители: 144=2·72.

Тогда c - b = 2 и c + b = 72. Отсюда c = 37 и b = 35. Ясно, что неравенство треугольника выполняется, оба числа целые.

Проверим утверждение теоремы Пифагора:

12²+35²=144+1225=1369=37².

Значит, все условия выполняются. Тогда максимально возможный периметр равен сумме длин сторон треугольника

P = a + b + c = 12  + 35 + 37 = 84

1) За 1012 взвешивания Мистер Фокс сможет гарантированно узнать суммарный вес монет.

Он, к примеру, сначала взвесит 1009 "не пересекающихся" пар монет. И узнает их суммарный вес.

Останется еще 3 монеты (по причине того, что  2021 - 1009 · 2 = 3). Первая будет взвешена по очереди со второй и с третьей, а дальше на весах появятся вторая и третья монета.

Результатом таких взвешиваний будут три числа. Если мы их сложим, то получим удвоенный вес первой, второй и третьей монет. Если разделим на два, то получим вес всех трех оставшихся монет.

И прибавим его к весу 1009 пар взвешенных ранее 1009 пар монет. Получим суммарный вес всех монет.

2) Меньше, чем за 1012 взвешиваний, в общем случае суммарный вес монет не удастся узнать.

Почему? Очевидно, что при взвешиваниях каждая монета должна побывать на весах. Поэтому взвешиваний должно быть уже не меньше 1011 (2021 : 2 = 1010 пар монет, и 1 в остатке дает 1011-ое взвешивание).

Несложно понять, что если нам удалось за 1011 взвешиваний узнать суммарный вес монет, то: 1) все монеты побывали на весах; 2) ровно одна монета (обозначим ее буквой М) побывала на весах два раза, во второй раз - с монетой Л, образовавшей в результате остатка при делении на 2 числа 2021.

Суммарный вес всех монет, кроме М нам известен. Следовательно, задача решится, если мы найдем Л. А чтобы найти Л, нужно найти М. Но М как из первого взвешивания, так и из второго найти нельзя.

Так как получается что-то наподобие системы из двух линейных уравнений с тремя неизвестными (X + M = a, M + L = b).

Таким образом, за 1011 (и меньше) взвешиваний узнать суммарный вес всех монет не удастся. А за 1012 - уже получится.