Найти интеграл: 1. ∫ x³dx/³√(5x⁴+2)² 2.вычислите интегралы: а верху 1 внизу0 ∫dx/(3x+1)⁴ б).верху 1внизу 0 ∫arcsinxdx решите, нужно, с пояснением
Ответы
![1)\; \int \frac{x^3\, dx}{\sqrt[3]{(5x^4+2)^2}}=[t=5x^4+2,\; dt=20x^3\, dx\; \to \; x^3\, dx=\frac{dt}{20}\, ]=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{2}{3}}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{5x^4+2}+C\\\\2a)\; \int _0^1\frac{dx}{(3x+1)^4}=[\, t=3x+1,\; dt=3\, dx\; \to \; dx=\frac{dt}{3},\;\\\\ t_1=3\cdot 1+1=4\; ,\; t_2=3\cdot 0+1=1\, ]=\\\\=\frac{1}{3}\cdot \int _1^4\, t^{-4}\, dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{t^{-3}}{-3}+C=](/tpl/images/0405/2882/042b0.png)
![=-\frac{1}{9(3x+1)^3}+C\\\\2b)\; \int_0^1arcsinx\, dx=[\, u=arcsinx,\; du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\cdot arcsinx\, |_0^1-\int _0^1\frac{x\; dx}{\sqrt{1-x^2}}=(1\cdot arcsin1-0)+\frac{1}{2}\int_0^1\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=\\\\=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-x^2}\, |_0^1=\frac{\pi}{2}+(0-1)=\frac{\pi}{2}-1](/tpl/images/0405/2882/2b500.png)
54:6+36:6=54/6=9 36/6=6 9+6=15
8×8-6×6=8*8=64 6*6=36 63-36=28
4×6+2×8= 4*6=24 2*8=16 24+16=40
32:4+7×8=32/4=8 7*8=56 56+8=64
8×(24-18)= 24-18=6 6*8=48
64:(40-32)=40-32=8 64/8=8(70-65)×6=70-65=5 5*6=30
37+7×6=37+7=44 44+6=50
60-24:6×8=24/6=4 4*8= 32 60-32=28
32+7×9-16=32+ 7*9=63 63+32=95 95-16=79
9×3-64:8=9*3=27 64/8=8 27-8=19
8×(11-5)+52=11-5=6 6*8=48 48+52=100
8×8-6×6=8*8=64 6*6=36 63-36=28
4×6+2×8= 4*6=24 2*8=16 24+16=40
32:4+7×8=32/4=8 7*8=56 56+8=64
8×(24-18)= 24-18=6 6*8=48
64:(40-32)=40-32=8 64/8=8(70-65)×6=70-65=5 5*6=30
37+7×6=37+7=44 44+6=50
60-24:6×8=24/6=4 4*8= 32 60-32=28
32+7×9-16=32+ 7*9=63 63+32=95 95-16=79
9×3-64:8=9*3=27 64/8=8 27-8=19
8×(11-5)+52=11-5=6 6*8=48 48+52=100
В заданном неравенстве (b+2)x^2-(b+1) x +2>0 левая часть - квадратный трёхчлен. Его общий вид: ах²+вх+с.
Пусть f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0.
Для того, чтобы корни данного квадратного трёхчлена были больше некоторого числа t, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система условий: D ≥ 0, a · f(t) > 0, x₀ > t (это абсцисса вершины параболы, t = 0 по заданию).
Находим дискриминант: D=b²-4ac.
D=b²+2b+1-4(b+2)*2 = b²-6b-15.
Приравниваем его нулю: b²-6b-15 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно b:
Ищем дискриминант:D=(-6)^2-4*1*(-15)=36-4*(-15)=36-(-4*15)=36-(-60)=36+60=96;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:b₁=(√96-(-6))/(2*1)=(√96+6)/2=√96/2+6/2=√96/2+3 = 2√6+3 ≈ 7.89898;
b₂=(-√96-(-6))/(2*1)=(-96+6)/2= -96/2+6/2=- √96/2+3 = -2√6+3 ≈ -1.89898.
Находим a · f(t):
f(0) = (b+2)*0²-(b+1)*0+2 = 2.
a · f(t) = (b+2)*2 = 2b+4.
Находим условие a · f(t) > 0:
2b+4 > 0,
2b > -4,
b > -2.
Проверяем третье условие: x₀ > t.
x₀ = -b/2а = (b+1)/(2b+4) > 0.
b > -1.
Совместное выполнение всех условий даёт ответ:
чтобы неравенство (b+2)x^2-(b+1) x +2>0 выполнялось при любых действительных значениях x, параметр b должен находиться на отрезке:
3-2√6 < b < 3+2√6.
Пусть f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0.
Для того, чтобы корни данного квадратного трёхчлена были больше некоторого числа t, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система условий: D ≥ 0, a · f(t) > 0, x₀ > t (это абсцисса вершины параболы, t = 0 по заданию).
Находим дискриминант: D=b²-4ac.
D=b²+2b+1-4(b+2)*2 = b²-6b-15.
Приравниваем его нулю: b²-6b-15 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно b:
Ищем дискриминант:D=(-6)^2-4*1*(-15)=36-4*(-15)=36-(-4*15)=36-(-60)=36+60=96;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:b₁=(√96-(-6))/(2*1)=(√96+6)/2=√96/2+6/2=√96/2+3 = 2√6+3 ≈ 7.89898;
b₂=(-√96-(-6))/(2*1)=(-96+6)/2= -96/2+6/2=- √96/2+3 = -2√6+3 ≈ -1.89898.
Находим a · f(t):
f(0) = (b+2)*0²-(b+1)*0+2 = 2.
a · f(t) = (b+2)*2 = 2b+4.
Находим условие a · f(t) > 0:
2b+4 > 0,
2b > -4,
b > -2.
Проверяем третье условие: x₀ > t.
x₀ = -b/2а = (b+1)/(2b+4) > 0.
b > -1.
Совместное выполнение всех условий даёт ответ:
чтобы неравенство (b+2)x^2-(b+1) x +2>0 выполнялось при любых действительных значениях x, параметр b должен находиться на отрезке:
3-2√6 < b < 3+2√6.
Ответить на вопрос
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
Популярные вопросы в разделе
Поставьте нужные знаки действия, чтобы равенство стало верным.
Автор: aa276568
4*( 3 1/8x+ 2 1/4)+1 1/2x, если x=2/7 x=1, 2
Автор: mikhailkirakosyan
Можно ли сократить как-нибудь корни: 1) корень 1/5 2) - корень 4/5
Автор: Volkanovaa19