Требуется "подвесить" в пространстве несколько кубиков со стороной 1 так, чтобы спереди, сбоку и сверху это сооружение выглядело как квадрат со стороной 3? каким наименьшим количеством кубиков можно здесь обойтись, и как их надо расположить?

Достаточно 9 кубиков.
В верхнем слое кубики располагаются так (1- кубик есть, 0 - кубика нет)
100
001
010
В среднем:
001
010
100
В нижнем:
010
100
001
Если смотреть на такой кубик сверху, сбоку или спереди всегда будем видеть картину
111
111
111
Понятно, что меньше 9 кубиков взять нельзя, т.к. сторона квадрата 3x3 уже состоит из 9 квадратиков (кубиков).

пояснение к третьему заданию: так как размер клетки 1*1, то это всё упрощает. расстояние между А и В равно длине гипотенузы треугольника АВС, катеты которого равны 7 и 5 (для того чтобы убедиться в этом, можно всего лишь посчитать клеточки), поэтому искомая длина отрезка АВ - √74 (по теореме Пифагора). по условию задачи полученное число нужно умножить на заданное. решение во вложении.

пояснение к четвёртому заданию: медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы (= радиус описанной окружности около данного треугольника)

находим гипотенузу по теореме Пифагора и делим полученное значение пополам, исходя из вышенаписанного утверждение.

ответ: 2 км/ч

Пошаговое объяснение:

s=v*t, где s — путь, v — скорость движения, t — время.

Нам известно, что до места отдыха профессор плыл 8 часов, а назад — на 2 часа меньше, то есть 8-2=6 часов (см. последнее предложение).

Пусть скорость течения равна х (км/ч), а расстояние от дома до места отдыха — s (км).  

Тогда путь профессора к месту отдыха:

s1=v1*t1 = (7-x)*8 (мы вычитаем скорость течения из скорости профессора, т. к. он плывёт против течения, и оно ему «мешает»).

Путь профессора домой:

s2=s(до испуга криком птицы) + s(после испуга криком птицы).

s(до испуга)= v(до испуга)*t(до испуга)= (7+х)*4

(мы прибавляем скорость течения к скорости профессора, потому что теперь он плывёт по течению, и оно ему; в условии сказано, что он испугался после 4 часов => t(до испуга) = 4 часа)

После испуга птицей профессор уже не мог грести, а значит, плыл со скоростью течения. Также известно, что всего назад он плыл 6 часов, из них до испуга — 4. Получается, что после испуга он плыл 6-4=2 часа.

s(после испуга)= v(после испуга)*t(после испуга)=х*2

Тогда полный путь профессора домой:

s2= s(до испуга) + s(после испуга) = (7+х)*4 + х*2

Заметим, что от дома до места отдыха и от места отдыха до дома — одинаковые расснояния (s1 =s2).  Имеем:

s1=(7-х)*8

s2=(7+х)*4 + х*2

Левые части уравнений равны — можем приравнять правые части:

(7-х)*8 = (7+х)*4 + х*2. Раскроем скобки:

56 -8*х = 28 + 4*х +2*х. Перенесём все числа без «х» в левую сторону, а все числа с «х» — в правую:

56 - 28 = 4*х + 2*х + 8*х

28=14*х

х=28/14=2.

За х мы обозначали искомую скорость течения. Значит,

ответ: 2 (км/ч).