3класс. решить уравнение 43*х=43: х

Х=1, х = -1. 
Как-то так. 

найдём координаты и длину вектора:

= (5,2,0),

найдем угол между ребрами А1А2 и А1А4.

Для этого найдём координаты и длину вектора :

= (1,2,4),

Векторное произведение векторов: и :

;

угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3

найдем каноническое уравнение ребра А1А4

,

– каноническое уравнение ребра А1А4

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки

А1(2,4,3), А2(7,6,3), А3(4,9,3):

уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

Синус угла между ребром А1А4 и гранью А1А2А3

площадь грани А1А2А3;

Грань А1А2А3 – это треугольник, площадь которого равна ? площади параллелограмма, построенного на векторах и

= (5,2,0),

= (2,5,0),

Векторное произведение векторов:

Находим площадь треугольника А1А2А3:

5) объём пирамиды;

= (5,2,0),

= (2,5,0),

= (1,2,4),

Смешанное произведение векторов:

объём пирамиды

6) уравнения прямой А1А2;

а). Как пересечение двух плоскостей А1А2А3 и А1А2А4:

уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки

А1(2,4,3), А2(7,6,3), А4(3,6,7):

уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А4:

Общие уравнения прямой А1А2:

б). каноническое уравнение прямой А1А2:

,

– каноническое уравнение ребра А1А2

с). параметрическое уравнение прямой А1А2:

7) уравнение плоскости А1А2А3;

А1(2,4,3), А2(7,6,3), А3(4,9,3):

уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

уравнение плоскости, проходящей через точки А1, А2, А3:

Нормальный вектор данной плоскости

Уравнение высоты А4Н, опущенной из т. А4(3,6,7) на плоскость А1А2А3, имеет вид:

Найдем координаты т.Н:

Решая параметрическое уравнение прямой А4Н

и уравнение плоскости А1А2А3: , имеем: , отсюда координаты т.Н.

обозначим стороны АВ=АС=b, BC=a, биссектрису BL=d,

угол ABL=альфа, тогда углы при основании треугольника ABC=ACB=(2альфа)

угол при вершине BAC=(180-4альфа)

и альфа должен быть < 45 градусов, т.е. 2альфа должен быть < 90 градусов, т.к. в равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым...

угол ALB=(3альфа)

по т.синусов: a*sin(2альфа) = b*sin(180-4альфа)

отсюда a = b*sin(180-4альфа) / sin(2альфа) = b*sin(4альфа) / sin(2альфа) =

= 2*b*cos(2альфа)

по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)= 2*b*cos(2альфа)

по т.синусов: AL*sin(3альфа) = b*sin(альфа)

по условию задачи d = BC - AL = a - b*sin(альфа) / sin(3альфа) =

= 2*b*cos(2альфа) - b*sin(альфа) / sin(3альфа) = = b* ( 2*cos(2альфа) - sin(альфа) / sin(3альфа) )

для длины биссектрисы справедлива формула: d = 2*a*b*cos(альфа) / (a+b)

отдельно запишем a+b = 2*b*cos(2альфа) + b = b*(2*cos(2альфа) + 1)d = 2*2*b*cos(2альфа)*b*cos(альфа) / ( b*(2*cos(2альфа) + 1) ) =

=4*b*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)

если приравнять два получившихся равенства для биссектрисы d, то длина стороны b сократится и останется тригонометрическое равенство:

sin(альфа) / sin(3альфа) =

= 2*cos(2альфа) - 4*cos(2альфа)*cos(альфа) / (2*cos(2альфа) + 1)после несложных преобразований можно получить равенство:

2*cos(2альфа)*(4*(cos(альфа))^2 - 1) = 1 + 4*cos(2альфа)*cos(альфа)

это выражение можно привести к полному уравнению четвертой степени относительно косинуса альфа (но у меня красивое решение этого уравнения никак не получается...)))одно из решений здесь очевидно... cos(альфа) = +- 1/2

но этот угол не может быть в равнобедренном треугольнике (см. выше...)))

если решать оставшееся кубическое уравнение, то единственным подходящим решением получается cos(альфа) =примерно= 0.94 (0.93969)

это угол около 20 градусов

тогда углы данного равнобедренного треугольника 40, 40, 100