Вычислить представив аргумент в виде суммы или разности : cos 135

Я думаю так:
при делении такого числа есть цикличность. 111 четко делятся на 3., получается 37.  затем необходимо сносить единицу, чтобы продолжить деление, поэтому в ответе и получаются 0.  в итоге ответ выглядит 37037037037037037 Т.е. цикл состоит из трех единиц, после чего чтобы продолжить деление "вклинивается" опять 0. Т.е. чтобы узнать количество таких циклов нужно 3003 разделить на 3 (число цифр в цикле). Получается 1001. Но нужно учесть что самый первый раз когда мы начинали делить мы ничего не сносили и 0 не было (поэтому нулей будет 1001 - 1 =1000). 
Итого: число 111111111...111111, состоящее из 3003 единиц при делении на 3 будет оканчиваться на 7 и содержать 1000 нулей

Для начала проверим, будет ли делиться на 3 число, состоящее из 666 единиц. Если сумма цифр числа делится на три, то и само число будет делиться на три.

1 * 666 = 666;

6 + 6 + 6 = 18, делится на 3;

значит и число из 666 единиц делится на 3.

Начнем делить число в столбик

Начнем делить число 111...111 на 3 в столбик.

11 : 3 = 3 (остаток 2, спускаем вниз 1);

21 : 3 = 7 (остатка нет, спускаем 1);

1 : 3 = 0 (остаток 1, спускаем 1);

11 : 3 = 3 (остаток 2, спускаем 1);

21 : 3 = 7 (остаток 0, спускаем 1);

1 : 3 = 0 (остаток 1, спускаем 1);

11 : 3 = 3 (остаток 2, спускаем 1), то есть все повторяется.

Найдем закономерность повторений.

Получается ответ: 370370...

Высчитаем количество цифр получившегося числа

Все число, состоящее из 666 единиц, можно разбить на тройки по три единицы (111, 111).

Мы начали делить с 11 (двузначное) на 3, получилось 3 (однозначное, то есть число будет меньше на один разряд).

Значит, число будет состоять из 665 цифр. Каждая тройка единиц даст в ответе три цифры, из которых один ноль, кроме первых трех единиц, они дадут две цифры.

То есть число будет выглядеть так: 37 037 037...037.

Посчитаем количество нулей в получившемся числе: 666 : 3 = 222. Но так как в первой тройке нет нуля, значит, 222 - 1 = 671.

ответ: В получившемся числе будет 221 ноль.