На доске написаны числа 1, 2, 3, 2018.за один ход разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность.в результате многократного выполнен я таких действий на доске окажется записанным одно число. может ли оно быть нулем?

Сумма всех чисел на доске равна то есть нечетна. Покажем, что четность суммы не меняется, то есть последнее число должно оказаться нечетным.

База: первым ходом стираются два числа. Так как их разность той же четности, что и их сумма, то четность суммы чисел не изменилась.

Переход: пусть после k ходов сумма нечетна. Покажем что следующим ходом мы не поменяем четность сумма. Но для этого достаточно применить рассуждения изложенные в базе. Значит через k+1 ход сумма чисел останется нечетной.

Так как 0 - число четное, а в итоге должно получиться нечетное число, то ответ на задачу отрицателен.

ответ: нет

Ледо́вое побо́ище (нем. Schlacht auf dem Eise, лат. Prœlium glaciale — «Ледовая битва») , также битва на Чудском озере (нем. Schlacht auf dem Peipussee) — битва новгородцев и владимирцев под предводительством Александра Невского против рыцарей Ливонского ордена, в состав которого к тому времени вошёл орден Меченосцев (после поражения при Сауле в 1236 году) , на льду Чудского озера, произошедшая 5 апреля 1242 года (суббота) . Генеральное сражение неудачной захватнической кампании Ордена 1240—1242 годов.

рукопожатий 15;
друзей ? чел
Решение
Х чел. число друзей;
(Х-1)  совершит каждый рукопожатий, т.к. с собой он не обменивается;
Х (Х -1) всего будет рукопожатий для для каждой руки;
Х(Х-1)/2 --- будет рукопожатий,т.к. участвуют двое(одно рукопожатие служит двоим);
Х(Х-1)/2 = 15 по условию;решим квадратное уравнение:
Х² - Х - 30 = 0;        D = 1 + 4*30 = 121   D > О, продолжим 
Х₁ = (1 + √D)/2 = (1+11)/2 = 12 : 2 = 6 (чел)  
Х₂ = (1-√D)/2 = - 5 не имеет смысла, так как количество друзей - число натурального ряда.
ответ : было 6 друзей, каждый из которых обменялся с пятью другими, и  делим пополам - во избежание двойного счета - делим пополам.

Е с л и   н е з н а к о м ы   с   к в а д р а т н ы м и   у р а в н е н и я м и :
рукопожатий 15;
друзей ? чел
Решение.
15 * 2 = 30   рук участвовало в рукопожатии, т.к. в каждом задействованы 2 человека.
Поскольку каждый должен пожать все руки, разложим 30 на 2 множителя.(люди и руки)
 30 = 30 *1   не имеет смысла,т.е. если человек 1, то только может протянуть руку 30-ти человекам без пожатия, или 30 человек протянут руки- не пожимая.
30 = 2 * 15 только одно рукопожатие;
30 = 3* 10 тоже много рукопожатий для трех человек, 
30 = 5 * 6   разложим на множители, и найдем, что каждый их 6 протянет руку  остальным пяти. Подбор завершен
ответ: 6 друзей!