Взоопарке живут 92 попугая: в 8 клетках, по 7 попугаев в каждой, и в нескольких клетках, по 9 попугаев в каждой. сколько в зоопарке клеток, в которых по 9 попугаев?

8Х7=56 (попугаев) - в 8 клетках
92-56=36 (попугаев) - в клетках по 9 штук
36/9=4 (клетки) - где по 9 штук

8*7=56 всего попугаев в клетках где 7 птиц
92-56=36 попугаев в других клетках
36/9=4
ответ:4 клетки

Равенства, указанные в приведенном примере, называются арифметическими прогрессиями, приём же вычисления последовательных нечётных чисел состоит в том, что каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, или, алгебраически: S=1+3+...+(2n–3)+(2n–1), тогда 2S=(2n–1+1)n=2n², следовательно, S=n². 1) Проверяя это утверждение, вычислим: 1+3=4 и 2²=4 — верно; 1+3+5=9 и 3²=9 — верно; 1+3+5+7=16 и 4²=16 — верно; 2) Пользуясь этим приёмом, можем легко найти А) Сумму первых десяти нечётных чисел: 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10²=100; Б) Сумму всех нечётных чисел от 1 до 99: 1+3+5+7+...+95+97+99=50²=2500.

Пусть 1^3+2^3+...+n^3=(1+ 2+ ...+ n)^2=А(очевидно, что А>0)
1) n=1
имеем 1^3=1^2. Верно.
2) Допустим, что наше равенство верно для числа n. Докажем, что равенство верно и при n+1.
Тогда исходное равенство примет вид 
(1^3+2^3+...+n^3)+(n+1)^3=((1+ 2+ ...+ n)+(n+1))^2
A+(n+1)^3=(√А+(n+1))^2
A+(n+1)^3=А+2√А*(n+1)+(n+1))^2
(n+1)^3=2√А*(n+1)+(n+1)^2
Так как n натуральное, то (n+1)>0, поэтому разделим обе части нашего уравнения на (n+1)
(n+1)^2=2√А*+(n+1)
n^2+2n+1=2(1+ 2+ ...+ n)+n+1
n^2+n=2(1+ 2+ ...+ n)
Заметим, что 1+ 2+ ...+ n - сумма арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, разностью, равной 1. Тогда количество членов в ней равно n.
Тогда 
n^2+n=2((1+n)/2)*n
n^2+n=n^2+n
Верно.
Значит равенство верно при любых натуральных n