Как решить пример 35: 100 десятичная дробь

35/100   - можно просто поделить 35 на 100 = 0,35
если надо оставить десятичную дробь - тогда сокращаем 35/100 на 5 - 
35/100 = 7/20

Если 2007 - это показатель степени, то я буду писать 3^2007 и 7^2007
3^4 = 81 = 2*37 + 7 ≡ 7 (mod 37)
7^3 = 343 = 9*37 + 10 ≡ 10 (mod 37)
Эта запись означает "сравнима по модулю", то "имеет такой же остаток при делении на 37".
3^2007 = 3^2004*3^3 = (3^4)^501*3^3 ≡ 7^501*27 (mod 37) = (7^3)^167*27 = 10^167*27
7^2007 = (7^3)^669 ≡ 10^669 (mod 37)
Дальше
10^3 = 27*37 + 1 ≡ 1 (mod 37)
10^167*27 = (10^3)^55*10^2*27 ≡ 1^55*100*27 (mod 37) = 2700
10^669 = (10^3)^223 ≡ 1^223 (mod 37) = 1
Теперь складываем
2700 + 1 = 2701 = 37*73 ≡ 0 (mod 37)
Таким образом получаем, что число 3^2007 + 7^2007 делится на 37.

Вообще это ЛДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами. Вводом переменной z=y' приходим к уравнению x*z'-z-x^2=0 = z'-z/x-x=0 - ЛДУ 1-го порядка. Пусть z=u*v ->u'*v+u*v' -u*v/x-x=0, v(u'-u/x)+u*v'-x=0, u'-u/x=0, du/u=dx/x, ln(u)=ln(x), u=x, x*v'=x, v'=1,v=x+C1, z=x*(x+C1)=x^2+C1*x. Проверка: x*z'-z-x^2=2*x^2+C1*x-x^2-C1*x-x^2=0, так что z найдено верно. Тогда y=x^3/3+C1*x^2/2. Проверка: y'=x^2+C1*x, y''=2*x+C1, x*y''-y'=2*x^2+C1*x-x^2-C1*x=x^2, так что у найдена верно.
ответ: y=x^3+C1*x^2/2+C2