Укажите наименьшее натуральное значение параметра а, при котором уравнение cos x = a в квадрате/ 2 не имеет решения

Из уравнения следует, что -1≤0,5*а²≤1, так как нужно натуральные числа образуются при счёте включая нуль (отрицательные числа исключаются), то минимальное а равно нулю, если считаем, что ноль  в число натуральных не входит, то а=1.

Во первых рассмотрим функцию:


Что бы получить нужную нам функцию, нужно ее растянуть вдоль оси y в два раза.


При этом, свойства у нее почти одинаковы со свойствами  . Отличается лишь область значений.

У  область значений следующая:

То есть:

Умножаем на два, и получаем область значений  :

Т.е.:


Остальные свойства те же :
- область определения 
- период функции (все тригонометрические функции периодичны) .

Функция чётна, так как выполняется:

- тождество.

Нули функции:

 
Так как  достигает экстремумы на концах отрезка области значения, то и  достигает экстремумы на концах отрезка:


Решаем :
- максимумы.
- минимумы.

Положительные значения на интервале  и на интервалах, получаемые сдвигом  этого интервала на

Отрицательные значения на интервале  и на интервалах, получаемые сдвигом  этого интервала на  

Функция возрастает на отрезке:
 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 
 
Функция убывает на отрезке:
 и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 
 

Замена переменной
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin²x+2sinxcosx+cos²x=t²
Так как sin²x+cos²x=1, 2sinxcosx=sin2x, то 1+sin2x=t²⇒sin2x=t²-1
Уравнение примет вид:
t=1-(t²-1)
t²+t-2=0
D=1+8=9
t=(-1-3)/2=-2  или  t=(-1+3)/2=1

sinx+cosx=-2 уравнение не имеет корней. Так как наименьшее значение синуса и косинуса равно -1, а это значение одновременно и синус и косинус принимать не могут.

sinx+cosx=1
Решаем методом введения вс угла.
Делим уравнение на √2:
(1/√2)sinx+(1/√2)cosx=1/√2.
sin(x+(π/4))=1/√2.
x+(π/4)=(π/4)+2πk, k ∈Z     или        x+(π/4)=(3π/4)+2πn, n∈Z;
x=2πk, k∈Z                         или        x=(π/2)+2πn, n∈Z.
ответ.2πk; (π/2)+2πn; k,n∈Z.