Можно ли число 197 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

Нельзя представить, но доказать это не так просто.
Число 197 можно представить в виде суммы двух двузначных чисел только одним но нам это не подходит.
Значит, одно число трехзначное, а второе двузначное.
197=100+10a+b+10c+d
И при этом 1+a+b=c+d
Получаем 10*(a+c)+(b+d)=97
Возможно два случая.
1) b+d=17=8+9
a) b=8; d=9; 1+a+8=c+9; a=c
b) b=9; d=8; 1+a+9=c+8; a+2=c
В обоих случаях сумма а+с не может равняться нечетному числу 9.
2) b+d=7=0+7=1+6=2+5=3+4
a) b=0; d=7; 1+a+0=c+7; a=c+6
b) b=1; d=6; 1+a+1=c+6; a=c+4
c) b=2; d=5; 1+a+2=c+5; a=c+2
d) b=3; d=4; 1+a+3=c+4; a=c
e) b=4; d=3; 1+a+4=c+3; a+2=c
f) b=5; d=2; 1+a+5=c+2; a+4=c
g) b=6; d=1; 1+a+6=c+1; a+6=c
h) b=7; d=0; 1+a+7=c; a+8=c
Во всех 8 случаях сумма а+с опять не может равняться нечетному числу 9.
Вывод: такого не может быть.

Сначала надо найти точки максимума / минимума функции. Поскольку в этих местах прирост или уменьшение значения функции по определению равен нулю то надо приравнять первую производную (она описывает скорость изменения функции) функции к нулю:
f'(x)=4x³/2-4*2x=0
4x³/2=4*2x
x³=4x. Здесь видно, что если x=0 то уравнение будет выполнятся.
x²=4
x= 2 или -2 или 0.

Теперь надо узнать, в этих точках минимум или максимум. Для этого б
просто подставляев в уравнение найденные значения х а также цифры справа и слева от найденных точек.
при x=-3: f(x)=81/2-36+1=5,5
при x=-2: f(x)=16/2-16+1=-7 => точка минимума
при x=-1: f(x)=-2,5
при x=0: f(x)=1 => точка максимума
при x=1: f(x)=-2,5
при x=2: f(x)=16/2-16+1=-7 => точка минимума
при x=3: f(x)=81/2-36+1=5,5

Соответственно функция возрастает между x=-2 и x=0 и после x=2

Тело, которое получилось, имеет веретенообразную форму: два конуса с одним общим основанием, 
радиус r которого - высота ВО треугольника АВС, проведенная к стороне АС, вокруг которой треугольник вращается; 
образующие - АВ и ВС соответственно; 
высота каждого конуса - СО и ОА, сумма которых равна АС. 
Объем тела вращения равен сумме объемов конусов:
V=v₁ +v₂
v₁=Sh₁:3=πr²h₁:3
v₂=Sh₂:3=πr²h₁:3
V=πr²h₁:3+πr²h₁:3=S(h₁+h₂):3=πr²*АС:3

Радиус r основания, общего для обоих конусов, найдем из площади треугольника АВС, найденной по формуле Герона.

Вычисления банальны, приводить поэтому иx не буду. 
Площадь треугольника АВС равна 84 
r=ВО=2S ᐃ АВС:АС=168:21=8
V =πr²*АС:3=π*64*21:3=448π
Площадь поверхности равна сумме площадей боковой поверхности конусов:
Sт.вр.=πrL₁+πrL₂=πr(L₁+L₁)
Sт.вр.=π*8*(10+17)=216π