Доказать методом индукции справедливость следующих равенств: 1/1*5+1/5*9++1/(4n-3)(4n+1)=n/4n+1

шаг 1 (базис индукции).

пусть n=1. тогда левая часть доказываемого равенства 1/(1*5)=1/5, правая часть 1/(4*1+1)=1/5, т.е. равенство справедливо.

пусть 1/(1*5)+1/(5*9)++1/((4k-3)(4k+1))=k/(4k+1) при n=k.

шаг 2 (индуктивный переход).

пусть n=k+1. тогда 1/(1*5)+1/(5*9)++1/((4k-3)(4k+1))+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=

 

=k/(4k+1)+1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1))=k/(4k+1)+1/((4k+4-3)(4k+4+1))=

 

=k/(4k+1)+1/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+5)+1)/((4k+1)(4k+5))=(4k^2+5k+1)/((4k+1)(4k+5))=

 

=(4k^2+k+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=(k(4k+1)+4k+1)/((4k+1)(4k+5))=

 

=((4k+1)(k+1))/((4k+1)(4k+4+1))=(k+1)/(4(k+1)+1)

 

следовательно, исходное предположение справедливо при любых натуральных n.

1.церковный раскол произошёл из-за реформы патриарха никона, в которой крещение производилось двумя пальцами. из-за этой реформы появились старообрядцы, которые были на стороне старых порядков и обычаев. между сторонниками никона и старообрядцами появился конфликт, а далее произошёл церковный раскол.2.церковный раскол в россии 17 века произошел не сразу и не вдруг. его можно сравнить с затянувшимся, длительным нарывом, который был вскрыт, но не смог вылечить весь организм, и пришлось прибегнуть к ампутации небольшой части, чтобы сохранить часть большую. поэтому 13 мая 1667 года на собравшемся в москве православном соборе были осуждены и преданы анафеме все, кто продолжал сопротивляться новым и новым богослужебным книгам. православная вера была движущей силой общества в течение нескольких веков. российский государь считался законно избранным божьим только после благословления митрополита - главы православной церкви. митрополит в российской иерархии был вторым человеком в государстве. российские государи всегда советовались со своими духовными отцами и важные, судьбоносные решения принимали только с их благословения.           церковные каноны в православной церкви были незыблемы и соблюдались строго. нарушить их, значило совершить самый тяжкий грех, за который полагалась смертная казнь. церковный раскол, который произошел в 1667 году, в значительной мере повлиял на духовную жизнь всего российского общества, затронул все его слои – и низшие, и высшие. ведь церковь была единым составляющим для российского государства.

Вот смотри:   1 дециметр - это 0,1 метра или 10 сантиметров.  переводим 67 дециметров в сантиметры: 67*10 = 670 сантиметров.  у нас уже есть два куска ткани: один 170 сантиметров, второй 2 метра. 2 метра - это 20 дециметров или 200 сантиметров.  складываем и узнаем, сколько сантиметров ткани у нас уже есть: 170 + 200 = 370 сантиметров.  теперь узнаем, сколько надо еще купить ткани:   670 - 370 = 300 сантиметров или 30 дециметров.  ответ: 300 сантиметров.  вот формула (на всякий случай) :   n = 67*10 - 170 - 2*100.  n = 300 сантиметров.