Сколько нечетных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 5, 6

33333
55555
35555
33555
33355
33335
53333
55333
55533
55553
63333
66333
66633
66663
65555
66555
66655
66665
35653
65335
65353
63553
63535
63355
65533
вроде все

Пусть a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7} - состояния олигархов в миллиардах рублей. И! очень важно, что они упорядочены в порядке возрастания.

допустим минимальную сумму:

a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=3, a_{4}=4, a_{5}=5, a_{6}=6, a_{7}=7

Теперь проверим условие:

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}>a_{5}+a_{6}+a_{7}

Очевидно, что если сумма 4 самых маленьких числа будет больше самой большой суммы оставшихся 3, то и любые другие вариации подойдут.

Подставим наши числа:

1+2+3+4>5+6+7

10>18

Чтобы условие выполнилось, необходимо добавить в правую часть 9

Давайте сделаем это:

(1+9)+(2+9)+(3+9)+(4+9)>(5+9)+(6+9)+(7+9)

10+11+12+13>14+15+16

46>45

Теперь осталось найти сумму 46+45=91

Пошаговое объяснение: Докажем более сильное утверждение: если p - нечетное число, не кратное трем, то p²-1 кратно 24.

А для этого докажем такое утверждение: произведение

                                          p³-p=(p-1)p(p+1)  

трех последовательных целых чисел, среднее из которых нечетное, кратно 24. Это утверждение следует из того, что 24=3·8, из того, что одно из трех последовательных чисел обязательно делится на 3, а также из того, что оба крайних числа четные, а одно из них даже делится на 4.

Переходим к доказательству утверждения про p²-1 =(p-1)(p+1)

при нечетном p, не делящимся на 3. Предыдущее утверждение гарантировало делимость на 24 произведения (p-1)p(p+1), но поскольку в нашем случае p не делится на 3, на три делится p-1 или p+1. Делимость на 8 также обеспечивали крайние числа.  

И, наконец, если p - простое число большее 3, оно нечетное и не делится на 3, поэтому к нему можно применить только что доказанное утверждение.