Из пункта а с постоянной скоростью выехал мотоциклист, одновременно навстречу ему из пункта в тоже с постоянной скоростью выехал велосипедист. они встретились на расстоянии 3, 2 км от пункта в, а в момент прибытия мотоциклиста в пункт в велосипедист находился на расстоянии 12 км от пункта а. найдите расстояние между пунктами а и в.

Обозначим расстояние AB = x. В момент встречи велосипедист со скоростью Vv проехал 4 км, а мотоциклист со скоростью Vm проехал x-4 км, за одно и тоже время t.
t = 4/Vv = (x-4)/Vm
Когда мотоциклист проехал AB = x км, велосипедист проехал x-15 км.
x/Vm = (x-15)/Vv
Получаем систему. Умножаем все на Vv и на Vm
{ 4Vm = (x - 4)*Vv
{ (x - 15)*Vm = x*Vv
Раскрываем скобки
{ 4Vm = x*Vv - 4Vv
{ x*Vm - 15*Vm = x*Vv 
Преобразуем
{ x*Vv = 4(Vm + Vv)
{ x*(Vm - Vv) =  15Vm
Подставляем
x = 4(Vm + Vv) / Vv = 15Vm / (Vm - Vv)
4(Vm + Vv)(Vm - Vv) = 15Vm*Vv
4Vm^2 - 4Vv^2 = 15Vm*Vv
Делим все на Vv^2
4(Vm/Vv)^2 - 15(Vm/Vv) - 4 = 0
Получили квадратное уравнение относительно Vm / Vv
D = 15^2 - 4*4*(-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2
(Vm/Vv)1 = (15 - 17)/8 < 0 - не подходит
(Vm/Vv)2 = (15 + 17)/8 = 32/8 = 4
Скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста.
Значит, в момент встречи велосипедист проехал 4 км, а мотоциклист в 4 раза больше, то есть 16 км.
AB = x = 4 + 16 = 20 км.

Расстояние от вершины треугольника до противолежащей стороны (высота) находят как произведение боковой стороны на синус прилежащего к стороне и основанию угла
О - вершина трех треугольников
здесь и дальше подразумеваем что высота опущена из точки О
высота треугольника АВО h1 = ОВ*sin(угол АВО)
высота треугольника ВСО h2 = ОВ*sin(угол СВО)
так как ВО - биссектриса угол АВО = угол СВО значит h2 = ОВ*sin(АВО) = h1
заметим, что h2 = CО *sin(угол ВСО)
высота треугольника СДО h3 = СО*sin(угол ДСО)
так как СО - биссектриса угол ВСО = угол ДСО значит h3 = СО*sin(угол ВСО) = h2
мы получили h1 = h2 = h3 - доказано !

Обозначим сторону маленького квадрата за х. Тогда площадь основания коробки будет равна S=(a-2x)^2, а объем коробки будет равен V=(a-2x)^2*x=a^2*x-4*a*x^2+4*x^3.
Для нахождения максимума объема продифференцируем эту функцию по x, получим 12*x^2-8*a*x+a^2. Приравняем производную нулю и решим полученное уравнение относительно x:
x1,2=(8a+/-sqrt(64a^2-48a^2))/24=(8a+/-4a)/24
x1=1/6*a
x2=1/2*a
Очевидно, что при x=1/2*объем коробки равен 0, и равенство производной нулю в этой точке указывает на минимум функции объема (при изменении х от 0 до 1/2*a)..
А x=1/6*a является точкой максимума функции объема.
ответ: сторона вырезаемого по углам квадрата должна быть равна 1/6 части стороны исходного квадрата.