Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей. (каждый простой делитель учитывается 1 раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)

Если данное число n — чётно, т.е. n = 2m, то искомыми числами будут k = 4m и l = 2m.

Пусть n — нечётно, p1, … ,ps — его простые делители и p — наименьшее нечетное простое число, не входящее во множество p1, … ,ps.
Тогда искомыми будут числа k = pn и l = (p – 1)n, так как, в силу выбора p, число p – 1 имеет своими делителями число 2, и, возможно, какие-то из чисел p1, … ,ps.

625|_9          597|_12        894|_3         238|_25      3457|_8       8346|_15
54  |69          48  |49          6    |298       225|9          32    |432     75    |556
  85               117               29                  13 ост.       25                84
  81               108               27                                    24                 75
    4 ост.           9 ост.          24                                    17                 96
                                            24                                    16                 90
                                              0                                      1 ост.           6 ост

5273|_4            2468|_32
4      |1318        224  |77
12                       228
12                       224
   7                          4 ост.
   4
   33
   32
     1 ост.

Обозначим меньшую сторону прямоугольника (ширину):   х (м),

тогда большая сторона прямоугольника (длина):  х + 6 (м)

Площадь прямоугольника:  S = x · (x + 6).

Тогда, по условию:      

                     х · (х + 6) = 72

                     х² + 6х - 72 = 0            D = b²-4ac = 36+288 = 324 = 18²

                     x₁₂ = (-b±√D)/2a

                     x₁ = -12  -  не удовлетворяет условию

                     х₂ = 6 (м) - ширина площадки        

                     х₂ + 6 = 6 + 6 = 12 (м) - длина площадки

Периметр площадки:

                    P = 2 · (6 + 12) = 36 (м)  

Так как в одной упаковке материала для бордюра содержится 5 метров материала, то количество упаковок, которое необходимо купить:

                    N = 36 : 5 = 7,2

Количество упаковок не может быть дробным числом, поэтому необходимое количество упаковок:  8.