Какие из следующих утверждений верны? 1. существует квадрат, который не является прямоугольником. 2. если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом. 3. все диаметры окружности равны между собой.

1. Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком НЕ ВЕРНО. 
Квадрат - правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой, а значит 360:4=90°, а значит квадрат обязательно является прямоугольником.

2. Если в па­рал­ле­ло­грам­ме две со­сед­ние сто­ро­ны равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом - ВЕРНО.
Поскольку соседние стороны параллелограмма равны между собой, а противоположные равны по определению, то все стороны равны. Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

3. Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой - ВЕРНО.
D=2R, поскольку все радиусы равны между собой, из определения окружности, то и все диаметры будут равны.

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании) , они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.
Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача) , или, как у Диофанта, признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными.
В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными» , «мнимыми» или «абсурдными» . Первое описание их в европейской литературе появилось в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202 год) , который трактовал отрицательные числа как долг. Бомбелли и Жирар в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке Паскаль считал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус) , хотя алгебраически это совершенно разные понятия.
В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно») . Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Гаусс в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей) [1].
Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Пошаговое объяснение:

Решение. Введем событие: X = (Среди выбранных хотя бы одно изделие первого сорта).  Рассмотрим противоположное ему событие: X =(Среди выбранных нет изделий первого сорта).  

 

Используем классическое определение вероятности:  

m

P

n = , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех равновозможных элементарных исходов.  

 

3 25

25! 23 24 25

2300

3!22! 1 2 3

n C

⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅

- число выбрать любые 3 изделия из 25.  

3 10

10! 8 9 10

120

3!7! 1 2 3

m C

⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅

- число различных выбрать 3 изделия второго сорта  

(из 10).  Искомая вероятность равна ( ) ( ) 120 109 1 1 1 0,948. 2300 115 m P X P X n = − = − = − = ≈  

 

ответ: 0,948.  

 

 

 

Задача 2. На отрезке [ ] 0;2 наудачу выбраны два числа x и y . Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству 2 4 4 x y x ≤ ≤ .  

 

Решение. Используем геометрическое определение вероятности. Сделаем схематический чертеж. Берем числа , x y из квадрата [ ] [ ] 0;2 0;2 × .  

 

Рассмотрим условие 2 4 4 x y x ≤ ≤ Строим линии:  

1)  

2

2 4 , . 4 x y x y ≤ ≤

 область выше параболы  

2

4 x y = .  

2)  

4 4 , . y x y x ≤ ≤

область ниже прямой y x = .  

 

Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей  

 

 

 

Таким образом, вероятность p равна отношению площади закрашенной фигуры (в которой выполняются условия 1 и 2) к площади всей фигуры (квадрата):  

.

.

фиг

квад

S

p

S =  

 

Площадь квадрата . 2 2 4 квадS = ⋅ = .  Площадь закрашенной области  22 2 2 3 2 3 . 0 0 1 1 1 1 4 2 2 . 4 2 12 2 12 3ô èã x S x dx x x       = − = − = − =            ∫  

 

Тогда вероятность .

.

4/3 1

0,333

4 3

ô èã

êâàä

S

p

S = = = = .  

 

ответ: 0,333.  

 

 

 

Задача 3. Дана схема включения элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени Т равна 0,5. Вычислить вероятность отказа всей цепи.  

 

 

 

Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей  

 

 

Решение. Рассмотрим события:  

i A  = (Элемент с номером i  откажет), 1,...,6 i = , ( ) 0,5 i P A = , ( ) 0,5 i P A = .  

Искомое событие B = (Цепь откажет), противоположное ему: B = (Цепь работает безотказно).  Выразим событие B через i A . Учитываем, что последовательному соединению отвечает произведение событий, а параллельному – сумма событий. ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 B A A A A A A = ⋅ + ⋅ + + .  

 

Выразим вероятность события B .  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 3 1 1 1 1 1 1 0,5 1 0,5 1 0,5 0,672. P B P B P A A A A A A P A P A A P A A A P A P A P A P A P A P A = − = ⋅ + ⋅ + + = = − ⋅ + ⋅ + + = = − ⋅ − ⋅ − = = − ⋅ − ⋅ − ≈

 

 

Использовали формулу для независимых в совокупности событий 1,... n A A :  

1 2 1 2 1 2 1 2 ( ... ) 1 ( ... ) 1 ( ... ) 1 ( ) ( ) ... ( ) n n n n P A A A P A A A P A A A P A P A P A + + + = − + + + = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ .  

 

ответ: 0,672.  

 

 

Задача 4. Детали изготавливаются на двух станках. На первом станке – 40%, на втором – 60%. Среди деталей, изготовленных на первом станке, брак составляет 2%, на втором – 1,5%. Для контроля случайным образом взята 1 деталь. Найти вероятность событий: А) деталь бракованная,  Б) деталь изготовлена на 1 станке, если при проверке она оказалась не бракованной.  

 

Решение. Введем полную группу гипотез: 1H = (Деталь изготовлена первым станком), 2H = (Деталь изготовлена первым станком).  

 

По условию: ( 1) 0,4 P H = , ( 2) 0,6 P H = .  

 

Введем событие A = (Деталь оказалась бракованной). Условные вероятности даны в задаче: ( | 1) 0,02 P A H = , ( | 2) 0,015 P A H = .  

 

1) Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности  ( ) ( | 1) ( 1) ( | 2) ( 2) 0,4 0,02 0,6 0,015 0,017 1,7%. P A P A H P H P A H P H = + = ⋅ + ⋅ = =  

 

2) Найдем вероятность ( ) 1| P H A того, что деталь изготовлена на первом станке, если она при проверке оказалась без брака.