Всегда ли модуль числа равен протиположному числу, т.е. (а)=-а? для каких чисел это верно?

Для положительных.
Например:/5/=5, но /5/ = -5
Есть число во 2-ой степени, то модуль будет равен числу.

Занумеруем фишки числами от 1 до 1000. По условию задачи, менять местами можно либо две четные, либо две нечетные фишки. Если фишка изначалньно находилась на нечетном месте, то в результате любой последовательности обменов она по-прежнему будет находиться на нечетном месте. Нам нужно, чтобы фишка с номером 1 оказалась на месте фишки с номером 1000, но это невозможно, поскольку одна из них находится на четном месте, а вторая на нечетном. Поэтому переставить фишки в обратном порядке нельзя.

ответ: нет, нельзя.

Занумеруем фишки числами от 1 до 1000. По условию задачи, менять местами можно либо две четные, либо две нечетные фишки. Если фишка изначалньно находилась на нечетном месте, то в результате любой последовательности обменов она по-прежнему будет находиться на нечетном месте. Нам нужно, чтобы фишка с номером 1 оказалась на месте фишки с номером 1000, но это невозможно, поскольку одна из них находится на четном месте, а вторая на нечетном. Поэтому переставить фишки в обратном порядке нельзя.

ответ: нет, нельзя.