Минус 602 (-602) целое число или нет

Целое, конечно, так как целые числа - это все отрицательные числа вида n, нуль и натуральные :)

Вычислите:

1) sin 105° * sin 75°; 2) 4sin 37,5° * sin 7,5°; 3) 8sin 22,5° * cos 7,5°

1 )  sin 105° * sin 75° = (1/2)* (cos(105° -75°) - cos(105°+75°) )=

(1/2)* (cos30°-cos180°) =(1/2)* ( (√3)/ 2 - (-1) ) = (1/2)*((√3) / 2+ 1 ) = (√3+2)/4

- - - - - - -

2 ) 4sin 37,5° * sin 7,5° =2*(cos(37,5° - 7,5°) - cos(37,5° +7,5°) ) =

2*(cos30° - cos45°) =2*( (√3)/2  -(√2) /2) = √3 - √2 .

- - - - - - -

3 )  8sin 22,5° * cos 7,5° = 4*( sin(22,5°+7,5°) +sin(22,5°-7,5°) ) =

4*( sin30° + sin15° ) = 4*( 1/2 + sin(60 - 45°) ) =

4*( 1/2 + sin60°*cos45°- cos60°*sin45°  ) =    ||  cos45°=sin45 =√2 / 2 ||

= 4*( 1/2 + √2 (√3 - 1) / 4 ) =  2 + √6 - √2  .

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

P.S.  sin15° =sin(45° -30°) = sin45°*cos30° - cos45°* sin30° =

(√2 / 2)*(√3 / 2 -1 / 2) = (√6 - √2) / 4 .

sin15° =√( (1 -cos30°) / 2 )  =√( (1 -√3 /2) / 2 ) =√( (2-√3 ) / 4 ) =

√( (4-2√3 ) / 8 ) =√( (3-2√3+1) / 8 ) =√( (√3 - 1 )² / 8 ) = (√3 - 1) /2√2  =

√2(√3 - 1) /4 = (√6 - √2) / 4 .

Как доказать тождество?

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».

 

В случаях, когда тождество не содержит переменных и иррациональности, можно вычислить правую и левую части.

Пример. Доказать тождество  

(

2

,

5

+

5

⋅

 

6

15

)

2

=

22

−

1

,

75

.

(

2

,

5

+

5

⋅

 

6

15

)

2

=

22

−

1

,

75

(

2

,

5

+

 

6

3

)

2

=

20

,

25

(

2

,

5

+

2

)

2

=

20

,

25

 

(

4

,

5

)

2

=

20

,

25

 

20

,

25

=

20

,

25

 

Тождество доказано.

В более сложных случаях, доказывая тождество, приходится прибегать к преобразованиям, потому что посчитать «в лоб» уже нельзя. При этом можно:  

Преобразовывать обе части одновременно (как в примере выше).

Преобразовывать только левую или только правую часть.

Переносить слагаемые через равно, меняя знак.

Умножать левую и правую часть на одно и то же число.

Использовать все математические правила и формулы (формулы сокращенного умножения, свойства степени, правила работы с дробями и разложения на множители и так далее и тому подобное). Именно пятый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все эти свойства и правила нужно знать, помнить и уметь использовать.

Пример. Доказать тождество  

(

a

+

b

)

2

+

(

a

−

b

)

2

=

2

(

a

2

+

b

2

)

.

(

a

+

b

)

2

+

(

a

−

b

)

2

=

2

(

a

2

+

b

2

)

Работаем с левой частью, не трогая правую.

С формул сокращенного умножения раскроем скобки слева,…

a

2

+

2

a

b

+

b

2

+

a

2

−

2

a

b

+

b

2

=

2

(

a

2

+

b

2

)

…затем приводим подобные слагаемые,…

2

a

2

+

2

b

2

=

2

(

a

2

+

b

2

)

…после чего вынесем за скобку двойку.

2

(

a

2

+

b

2

)

=

2

(

a

2

+

b

2

)

Обе части равны - тождество доказано

Пример. Доказать тождество  

x

2

+

1

x

2

=

(

x

+

1

x

)

2

−

2

.

x

2

+

1

x

2

=

(

x

+

1

x

)

2

−

2

Преобразуем правую часть, не трогая левую.

Раскроем скобки с формулы квадрата суммы,…

x

2

+

1

x

2

=

x

2

+

2

x

⋅

1

x

+

1

x

2

−

2

…у одно из слагаемых, сократив  

x

и  

1

x

, …

x

2

+

1

x

2

=

x

2

+

2

+

1

x

2

−

2

… и приводим подобные слагаемые   (

2

и  

−

2

).

x

2

+

1

x

2

=

x

2

+

1

x

2

Слева и справа одинаковые выражения, значит тождество доказано.

ВОТ ТЕ ПОДСКАЗКА КАК ДЕЛАТЬ)))