Нужно : дана прогрессия, в которой b3=6 b8=192 найдите частное этой прогрессии.

192:6=32(ч)этой прогрессии

y = C1 e‾ᵡ + C2 x e‾ᵡ + x^2 -4x +10

Пошаговое объяснение:

y'' + 2y' + y = x^2 + 4

однородное уравнение имеет вид

y'' + 2y' + y = 0

составим соответствующее характеристическое уравнение

k^2 + 2k + 1 = 0

(k+1)^2 = 0

k+1 =0 > k1,2 = -1

имеем два действительных кратных корня

Общее решение однородного уравнения

yo = C1 e‾ᵡ + C2 x e‾ᵡ

Частное решение ищем в виде

yч = Ax^3 +Bx^2 +Cx +D

находим производные

yч' = (Ax^3 +Bx^2 +Cx +D)' =3Ax^2 +2Bx +C

yч" = (3Ax^2 +2Bx +C)' = 6Ax +2B

подставляем в исходное уравнение

yч'' + 2yч' + yч = 6Ax +2B + 2 (3Ax^2 +2Bx +C) + Ax^3 +Bx^2 +Cx +D =

                         = Ax^3 +(6A+B)x^2 + (6A+4B+C)x + (2B+2C+D) = x^2 +4

Решаем систему из соответствующих коэффициентов

x^3: A = 0

x^2: 6A+B = 1; B = 1-6A = 1-6*0 = 1

x^1: 6A+4B+C = 0; C = -6A -4B = -6*0 -4*1 = -4

x^0: 2B+2C+D = 4; D = -2B -2C = 4 -2*1 -2*(-4) =10

Частное решение имеет вид

yч = 0*x^3 + 1*x^2 -4x +10  = x^2 -4x +10

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

y = yo + yч = C1 e‾ᵡ + C2 x e‾ᵡ + x^2 -4x +10

Найдем начала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения

                                                          (*)

Воспользовавшись заменой Эйлера , мы получим характеристическое уравнение

Общее решение уравнения (*)

     

Далее нужно найти частное решение. Рассмотрим функцию:

Здесь

Сравнивая с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что частное решение будем искать в виде

Подставляем все это в исходное дифференциальное уравнение

Приравниваем коэффициенты при степени x

Частное решение:  

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: