Построить график функций с производной: f(x)=-x³+12x

Производная функции f(x)=4x^3-6x^2 равна:
f '(x) = 12x² - 12x.

Исследовать функцию f (x) = 4x³–6x² и построить ее график.

1. Область определения функции - вся числовая ось.

2. Функция f (x) = 4x³–6x² непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной — относительно начала координат О.

 f(–x) = 4(–x)³–6(–x)² = –(4x³+6x²) ≠ –f(x),

f(–x) = 4(–x)³3–6(–x)² = –(4x³+6x²) ≠ –f(x)

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0, 4x³–6x²=0, 2x²(2x–3)=0 ⇒ x=0, x=3/2. Значит (0;3/2),  - точки пересечения с осью Ox.

 Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

y'=0 ⇒ 12x²–12x =0 ⇒ 12x(x–1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1 - критические точки.

Если производная положительна - функция возрастает, если производная отрицательна - функция убывает:

отрезок  -∞ < x < 0   функция возрастает,

отрезок 0 < x < 3/2   функция убывает,

отрезок 3/2 < X < ∞   функция возрастает.

7*. Вычисление второй производной: у =4x³–6x², 

f '(x) = 12x² - 12x. f ''(x) = 24x - 12.

y''=0, 24x–12= 0, x = 12/24 = 1/2.

 8*. Промежутки выпуклости и точки перегиба:

отрезок  -∞ < x < 1/2  график функции выпуклый вверх,

точка перегиба х = 1/2,

отрезок 1/2< x < ∞  график функции выпуклый вниз.

9. Найдем значение функции в дополнительной точке: f(1/2) = 4*(1/2)³– 6(1/2)² = 4/8 -6/4 = (4-12) / 8 = -8/8 =  –1.

10. Искомый график функции в приложении.

1}} 1м=100см; 1/2= 100:2•1=50см; 1/4метра=100:4•1=25см; 1/5метра=100:5•1=20см; 1час=60мин; 1/2часа=60:2•1=30мин; 1/3часа=60:3•1=20мин; 1/4часа=60:4•1=15мин; 2}} Работа=Х; Х:4•1= 1/4Х; ответ: 1/4часть работы выполняли в час. 3}} Путь=S=1; Vскорость=1/5S/ч; tвремя=?; t=s:v; t= 1: 1/5= 1•5/1=5часов. ответ:5часов. 4}} Неделя=7 дней= 7/7частей; солнечных= 3 из 7 = 3/7части; 5}} Всего 4+3=7цв= 7/7частей; белые 3ц= 3/7части; 6}} 1)80+20=100м у Бори; 2)100+80=180м у Алеши и Бори; 3) 180:3•1=60м у Вовы. ответ: 60маоок у Вовы; 7}} 1)36:2•1=18гр папа; 2) 36-18=18гр остаток; 3) 18•1/3= 18•1 :3=6гр мама; 4) 36-18-6= 12гр сын. ответ: сын нашёл 12грибов. 8}} 30стр---1/3книги; вся книга=?; 1)30•3:1=90стр вся книга; ответ: 90страниц вся книга. 9}} Всего=12птиц; улетело-2/3=? 12:3•2=8п улетело или 12•2/3=24/3=12пт. 10}} 48км=2дня; 1день= 2/3от 48км; 2день=?; 1) 48•2/3= 48:3•2= 16•2= 32км в 1день; 2) 48-32=16км 2день или так 1)48:3=1/3пути; 2) весь путь 3/3; 3/3-2/3=1/3ч в 2день; 48:3•1=16км 2день. 11}} Всего =350руб= 7/7частей; потратил =5/7ч; осталось =?; 1) 7/7-5/7=2/7 осталось; 2) 350•2/7= 700/7=100руб осталось. 12}} Купил=36руб=12/12частей; продал= 7/12ч=?руб; 1) 36•7/12= 3•7/1= 21 руб продал; 13}} 3дня=360км; 1день=2/5; 2день=3/8; 3день=? 1)360•2/5=72•2/1= 144км в 1день; 2) 360•3/8= 45• 3/1=135км во 2день; 3) 360-144-135= 181км в 3день. 14}} было= 90р; стало= 90р -3/10р; новая цена=?; 1) 90•1/3= 30р понизилась; 2) 90-30=60руб стала цена. 15}} 120 рублей составляют 3/4 имеющейся суммы денег. Какова эта сумма? 120р=3/4всех; 4/4= вся сумма=?; 120:3/4= 120•4/3=160руб вся сумма. 16}} Определите длину отрезка, 3/5 которого равны 15 сантиметрам. 3/5=15см; весь=1отр=5/5=?; 15: 3/5= 15•5/3= 5•5/1=25см весь. 17}} 10лет=2/7х; Х=7/7=?; Х= 2/7•Х=10; Х= 10:2/7; Х= 10•7/2; Х= 5• 7/1; Х= 35лет отцу. Или 2/7=10, значит 1/7= 10:2=5лкт это 1/7; отец=7/7 значит 5•7=35лет отцу. 18}} 90р=1целое= 10/10частей; уменьшить на 1/10ч; 90•1/10= 90:10= 9руб 1/10часть; 90-9=81руб новая сумма. Или 1-1/10= 10/10-1/10=9/10останется; 90•9/10= 9• 9/1= 81руб уменьшенное; 19}} 80р=1целое=5/5частей; 5/5+2/5=7/5ч будет; 80•7/5= 16• 7/1=112руб увеличенная сумма; или так 80•2/5= 16•2/1= 32р это 2/5; 80+32=112руб новая сумма; 20}} Костюм=240р=1/3всех р; остаток=39р; книги=?штук; 1) 240:1/3=240•3/1= 720р всего было; 2) 720-240-39= 480-39= 441р стоили книги. 21}} сын=8лет= 2/9от отца; отец=3/5от дедушки; дедушке=?; 1) 8:2/9= 8•9/2=4•9/1=36лет отцу; 2) 36:3/5= 36•5/3= 12• 5/1= 60лет дедушке. 22}} Весь класс=1целое; 1/2кл=чтецы; 1/3чтецов=победители=5уч; 1) 5:1/3= 5•3/1= 15уч это 1/2класса; 2)15•2=30уч всего; 23}} 1л=масло+бутылка=950г; 1л:2 масла и бутылка=1/2л масла и бут= 550г; бутылка=?г; 1)950-550=450г вылили масла; 2)550-450=100г весит бутылка; 24}} 1)) 5:2=5/2=2 1/2ябл это половина яблок и 1:2=1/2ябл ещё взял; 2)) 2 1/2+ 1/2= 3ябл взял. 25}} 4кар+1/2кар=4 1/2кар= половина (1/2) коробки; 4 1/2•2= 9/2• 2= 18/2=9карандашей в коробке. Сестра взяла половину коробки и пол кар; 9:2+ 1/2= 10/2=5каранд сестра; ответ:было 9карандашей. 26}} 1)) 48000•1/8= 48000:8•1= 6000руб жене; 2)) 3сына•2части+1дочка•1ч=7ч; 48000-6000=42000р осталось; 3)) 42000:7=6000р дочке это 1ч; 4)) 6000•2=12000р 1сыну; проверка 6000жена+6000дочка+3сына•12000= 48000р; ответ: сынам по 12000р; дочке 6000р и жене 6000р. 27}} 5к=1/2остатка; 1)) 5•2:1=10к остаток был до того как дала 5к сыну; 2)) 10к-1к=9к это 1/2конфет; потому что дочери 1/2всех и 1к; 3)) 9•2=18к было всего; проверка; 18:2=9к; 9+1=10к дочери; 10:2=5к сыну и оставшиеся 5; 5-5=0к; ответ: мама дала 18конфет всего. 28}} 3руб= 1/2остатка до младшего сына; значит 1) 3•2=6руб весь остаток до младшего; 2) 6+1=7р это 1/2остатка до среднего; 7•2=14р весь остаток до среднего; 3) 14+1=15р это половина что старшему дал или половина всех; 4)) 15•2=30р было всего. Проверка старшему 30:2+1=16р дал; 30-16=14ост; 14:2+1=8р среднему дал; 14-8=6р осталось; 6:2+3= 3+3=6р младшему дал; 6-6=0. ответ: было 30 рублей. 29}} 10яиц+1/2яйца= 10 1/2яиц= 1/2остатка второй; 10 1/2• 2= 21яиц = остаток до второй; 21+1/2= 21 1/2яйца пол остатка от первой; 21 1/2• 2= 43 всего проверка 1) 43:2+ 1/2= 43/2+ 1/2= 44/2= 22яйца 1 купила; 43-22=21осталось; 21:2+1/2= 21/2+1/2= 22/2= 11яиц вторая купила и 22-11=10яиц осталось это третья купила; ответ: крестьянка принесла 43яйца на рынок. 30}} 70быков это 2/3 от 1/3всех; всех=3/3; 1) 70:2/3= 70•3/2= 35•3/1=105быков это 1/3от всех; 2) 105:1/3= 105•3/1= 315быков всего. ___ Проверка 315:3=105б это 1/3часть всех; 105•2/3= 35•2/1=70б привёл. ответ: всего 315быков в стаде.

Сначала нужно отнять от 15 9. Этим действием мы найдем количество учеников изучающих только английский язык.  

15 - 9 = 6.

Затем отнять  от 11 9. С этого мы узнаем сколько учеников изучают только русский язык.

11 - 9 = 2

Теперь найдём сколько всего учеников в классе. Чтобы сделать это нам нужно найти сумму учеников изучающих английский и учеников изучающих русский и прибавить к ним учеников изучающих  языка.

6 + 2 + 9 = 17

ответ: 17 учеников всего.

15 ученик. изучают Англ.яз.

11 ученик. изучают Рус. яз.

9 ученик. изучают оба яз.

1) 15+11=26 (ученик.) учеников изучают рус. яз. и англ. яз.

2) 26+9=35 (ученик.) в классе

ответ: 35 учеников всего.