О- точка перетину діагоналей трапеції abcd з основами ab і bc , ad = 8 см , bc = 6 см .знайдіть відрізки bo і od якщо їх різниця = 1 см

▲АОД подобен ▲ВОС к=АД/ВС=8/6=4/3
ОД/ОВ=4/3  ОД=4*ОВ/3
ОД-ОВ=1 подставим (4*ОВ/3)-ОВ=1   (*3)  4*ОВ-3*ОВ=3  ОВ=3 см.
ОД=1+ОВ=1+3=4 см.

1)2sin(x) - 3 cosx = 2

4 sin(x/2)cos(x/2) - 3(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) = 2 (cos^2(x/2)+sin^2(x/2))

откуда

5 sin^2(x/2) - 4 sin(x/2)cos(x/2) - cos^2(x/2) = 0

делим на cos^2(x/2) , тога получим

5 tg^2(x/2) - 4 tg(x/2) - 1=0

tg(x/2) = t, 5t^2 - 4 t - 1 =0

получаем корни t1=1 бе2= -0.2

t1=1 => tg(x/2) = 1 => x/2= Pi/4 + Pi *n, => x1 = Pi/2 + 2*Pi*n

t2=-0.2 => tg(x/2) = -0.2 => x/2= - arctg(0.2) + Pi * n=> x2=-2 arctg(0.2) + 2*Pi*n

4) sqrt(cos5x+cos7x)=sqrt(cos6x)

sqrt(2cos6xcosx)=sqrt(cos6x)

|2 cos6xcosx | = |cos6x|

cos^2(6x) *(4*cos^2(x) - 1 ) =0

откуда 1) 6x= Pi/2 + Pi*n => x1 = Pi / 12 + Pi*n/6 (этот корень подходит при проверке !!)

2) 4cos^2(x) - 1 =0

cosx= 0.5 и cosx= - 0.5

cosx=0.5 => x2 = +(-) Pi /3 + 2*Pi*n (подходит! )

cosx = -0.5 => x3 = +(-) 2*Pi/3 +2*Pi*n ( этот корень не подходит приподстановке в начальное уравнение, он не является корнем нашего уравнения . )

ответ :x1= x1 = Pi / 12 + Pi*n/6, x2 = +(-) Pi /3 + 2*Pi*n

3) sin2x + sin4x + sin 6x = 1/2ctgx

sin2x +sin6x=2sin4xcos2x, тогда имеем

2 sin4xcos2x + sin4x = 0.5*tgx( заменяю 1/ctgx=tgx)

2 sin4x(2cos2x +1) = tgx (0.5 перенес в левую часть, поэтому появился множитель 2)

4sin2xcos2x(2(cos^2(x) - sin^2(x)) + 1 ) = tgx

8sinx cosx (4cos^2()x - 1 ) = tgx ( в левой части я сделал преобразования 2(cos^2(x) - sin^2(x)) + 1 = 3cos^2(x) -sin^2(x)=4cos^2(x) - 1 )

tgx=sinx/cosx, поэтому можем перенести в левую часть cosx

8sinx cos^2(x) (4cos^2(x) - 1 )=sinx

sinx(8 cos^2(x) (4cos^2(x) - 1 ) - 1)=0 (имеем два уравнения)

1)sinx=0 => x1=Pi*n

2) 8 cos^2(x) (4cos^2(x) - 1 ) - 1)=0

32 cos^4(x) - 8cos^2(x) - 1=0

cos^2(x)=t ,

32 t^2 - 8t - 1=0

корни t1 = (1+sqrt(3))/8, t2= (1 - sqrt(3))/8 (t2 <0, поэтому он нам не подходит, т. к cos^2(x)=t и cos^2(x)>0 ! )

t1 = (1+sqrt(3))/8

cos^2(x) = (1+sqrt(3))/8

cosx = +(-) sqrt((1+sqrt(3))/8)

x2=+(-) arccos(sqrt(1+sqrt(3))/8)) + Pi*n

x3=+(-) (Pi - arccos(sqrt((1+sqrt(3))/8))) )+ Pi*n ( т. к. arccos sqrt(- (1+sqrt(3))/8) = Pi - arccos sqrt(1+sqrt(3))/8) )

ответ: x1=Pi*n

x2=+(-) arccos(sqrt(1+sqrt(3))/8)) + Pi*n

x3=+(-) (Pi - arccos(sqrt((1+sqrt(3))/8))) )+ Pi*n

Пусть х км/ч скорость катера в стоячей воде, тогда по течению скорость (х+5) км/ч, против течения скорость  (х-5) км/ч. Составляем уравнение по условию задачи,заметив, что 10 мин = 10/60 = 1/6 часа:
33 / (х+5) + 33/(х-5) = 1,5 - 1/6
1,5-1/6 = 1_1/2 -1/6 = 1_3/6 - 1/6 = 1_2/6 =1_2/6 = 1_1/3=4/3

33/(х+5) + 33/(х-5) = 4/3
проводим к общему знаменателю 3(х-5)(х+5) и отбрасываем его, заметив, что х≠3 и х≠-3, получаем:
33*3(х-5)+33*3(х+5) = 4(х+5)(х-5)
99х-495+99х+495=4х2-100
4х2-198х-100=0 |:2
2х2-99х-50=0
Д=9801+400=10201=101*101
х(1)=(99+101) / 4 = 50
х(2)=(99-101)/4<0 не подходит под условие задачи, скорость >0
ответ: 50 км/ч собственная скорость катера