Два пирата делили добычу, состоящую из пяти золотых слитков, масса одного из которых 1 кг, а другого – 2 кг. какую массу могли иметь три других слитка, если известно, что какие бы два слитка ни выбрал себе первый пират, второй пират сможет так разделить оставшиеся слитки, чтобы каждому из них досталось золота поровну? в ответе укажите количество различных (с точностью до перестановки) вариантов весов слитков.

Два слитка мы уже знаем: 1 и 2 кг.
Чтобы можно было поделить поровну, оставшиеся слитки должны в сумме иметь нечетное число килограммов
и не быть слишком тяжелыми, чтобы масса самых тяжелых, выбранных пиратом могла быть уравновешена 1+2 имеющихся и оставшийся третий.
Варианты:
1) три остальных слитка - 3 кг (1; 2); (1;1;1) . Сумма 6 кг . Если пират вдруг выберет 1+1, второй добавит ему еще 1, и добыча будет по 3 кг
2) остальные слитки - 5 кг
варианты:
 - (1; 2); (1; 2; 2). Сумма 8 кг . При выборе (1+3) второй добавляет еще 1 кг, при выборе (2+2) оставляет себе  3 слитка(1+1+2) и получают по 4 кг
- (1; 2); (1; 1; 3).  Масса двух слитков больше оставшихся трех, не проходит.
3) остальные слитки 7 кг, пираты должны получить (3+7)/2=5 (кг) каждый, слиток не должен превышать 3 кг, чтобы его масса в сумме с 2 кг не была больше 5 кг, и не должно быть два с по 3 кг, вариант (1,3,3) - не годится, остается вариант: -(1;2); (2; 2; 3). к (2+2) добавляется 1 кг, а 2+3=2+2+1
4) оставшиеся слитки 9 кг, тогда пираты получат (3+9)/2=6 (кг), отсюда в состав числа 9 не могут входить слитки больше 4 кг, т.к. 5+2 = 7, 
но и (9 = 4+ 4+1) тоже не подходит,т.к. (4+4)>6
(1; 2); (3; 3; 3) . При выборе (1+2) второй пират получает 3 кг, а при (2+3) еще 1 кг.
5) остаток 11 кг не рассматриваем, т.к. (3+11)/2 = 7, а 11 не разложить на 3 числа так, чтобы сумма каких-то 2 была меньше 7, в наборе обязательно будут слитки, сумма которых превысит 6 кг.
ответ:  4 варианта: а)1; 1; 1; 1; 2;  б) 1; 1; 2; 2; 2; в) 1; 2; 2; 2; 3; г) 1; 2; 3; 3; 3;

Правила четности:
Произведение любого числа и четного числа - четное.
Сумма двух четных чисел - четная
Сумма четного и нечетного числа - нечетная
Сумма двух нечетных чисел - четная
1)
100a - четное, так как 100 - четное.
10b - четное, так как 10 - четное.
Сумма двух четных чисел - 100a  и 10b - четное число.
А сумма этого четного числа и нечетного числа 5 - число нечетное.
На 2 не делится.
2)
Сумма (100a + 10b) делится на 5, так как 100 и 10 делятся на 5
Если к этой сумме прибавить 5, то результат тоже делится на 5.
На 5 делится.
3)
Сумма (100a + 10b) делится на 10, так как 100 и 10 делятся на 10.
Если к этой сумме прибавить 5, то результат не будет делится на 10,
потому что 5 на 10 не делится.
На 10 не делится

В этом ответе речь идёт о делении нацело. a и b - целые числа, больше либо равны единице.

Разобьём сумму на слагаемые:
1) 100 • a
2) 10 • b
3) 5
Мы видим, что 5 здесь - наименьшее число. Оно всегда будет прибавляться к разряду единиц. Это значит, что пока что мы можем забыть о первых двух слагаемых.

Теперь вспомним признаки делимости
На 2: Число должно быть чётным (оканчиваться на чётную цифру)
На 5: Число должно оканчиваться или на 5, или на 0
На 10: Число должно оканчиваться на 0

Подставив эти условия к цифре 5, мы получим ответ.

- Цифра 5 - чётная? (нет)
- Цифра 5 является 5 или 0? (да, 5)
- Цифра 5 является 0? (нет)

Из этого получаем, что сумма 100 • a + 10 • b + 5 не делится на 2 и на 10 и делится на 5.