Три окружности радиусов 2, 18, 5 касаются попарно друг друга внешним образом. найти длину хорды, отсекаемой третьей окружностью от общей внутренней касательной первых двух окружностей.

Будем считать, что окружности пронумерованы в порядке их перечисления в условии, а А, В, С - соответственно их центры. 
AB=2+18=20, AC=2+5=7, BC=18+5=23.  По ф. Герона p=(20+7+23)/2=25
S(ABC)=√(25·5·18·2)=30√5. Расстояние h от точки С до прямой AB равно h=2S/AB=3√5. Расстояние от С до  общей внутренней касательной к окр. А и В равно 2+√(AC²-h²)=2+√(49-45)=4. Значит искомая хорда DE равна 2√(5²-4²)=6.

Обозначим центры заданных окружностей О1, О2 и О3.
Начало координат примем в точке О1(0; 0).
О2(20; 0). Здесь 20 = 2+18.
Координаты центра третьей окружности надо решить из системы двух окружностей (как построение треугольника).


Из второго уравнения вычитаем первое и получаем:
-40х + 400 = 480  или х - 10  = -12.
Отсюда х = -12 + 10 = -2.
у = √(49-4) = √45 = 3√5.  Это координаты точки О3.
Уравнение третьей окружности: (х + 2)² + (у - 3√5)² = 25.
Общая касательная к первой и второй окружностям имеет уравнение:
х = 2.
Подставим х = 2 в уравнение третьей окружности и найдём координаты точек пересечения общей касательной двух окружностей с третьей окружностью.
(2+2)²+(у-3√5)² = 25.
16 + у² - 6√5*у +45 = 25.
Получаем квадратное уравнение:
у² - 6√5*у + 36 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно y: Ищем дискриминант:
D=(-6*2root5)^2-4*1*36=36*5-4*36=180-4*36=180-144=36;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
y_1=(√36-(-6*√5))/(2*1)=(6-(-6*√5))/2=(6+6*√5)/2=6/2+6*√5/2=3+6*√5/2=3+3*√5≈9.7082039;y_2=(-√36-(-6*√5))/(2*1)=(-6-(-6*√5))/2=(-6+6*√5)/2=-6/2+6*√5/2=-3+6*√5/2=-3+3*√5≈3.7082039.
Разность координат по оси Ох равна 6.
Это и есть длина искомой хорды.

На первый взгляд, 8 лучей, проведенных из вершины развернутого угла, делят развернутый угол на 9 углов.
Но на самом деле в развёрнутом угле лучи создают гораздо больше углов

Известно, что любые два луча образуют угол.

1) 2+8 = 10 лучей всего содержится в исходном развернутом угле, состоящем из двух лучей, после того, как внутри из его вершины провели еще 8 лучей.

2) Число сочетаний С из n элементов по k вычисляется по формуле:
С = (n!) / (((k!) • ((n-k)!))

В нашем случае n=10 лучей, из них любые k=2 луча образуют угол.
Посчитаем количество которыми можно из 10 лучей образовать углы при двух лучей:
(10!) / (((2!) • (10-2)!)) = (10!) / ((2!) • (8!)) =
(1•2•3•4•5•6•7•8•9•10)/(1•2 • 1•2•3•4•5•6•7•8)=
= 9•10/2 = 45 углов получилось.

ответ: 45

ПРОВЕРКА
Рассмотрим варианты по этой логике:

1) Проводим 1 луч
2+1=3 - всего 3 луча в развернутом угле
(3!) / (((2!) • (3-2)!))= (3!) / ((2!) • (1!)) =
(1•2•3)/(1•2 • 1)=
= 6/2 = 3 угла получилось.

2) Проводим 2 луча
2+2=4 - всего 4 луча в развернутом угле
(4!) / (((2!) • (4-2)!))= (4!) / ((2!) • (2!)) =
(1•2•3•4)/(1•2 • 1•2) = 6 углов получилось.

3) Проводим 3 луча
3+2=5 - всего 5 лучей в развернутом угле
(5!) / (((2!) • (5-2)!))= (5!) / ((2!) • (3!)) =
(1•2•3•4•5)/(1•2 • 1•2•3) = 10 углов получилось.

3) Проводим 4 луча
4+2=6 - всего 6 лучей в развернутом угле
(6!) / (((2!) • (6-2)!))= (6!) / ((2!) • (4!)) =
(1•2•3•4•5•6)/(1•2 • 1•2•3•4) = 15 углов получилось.

1) 1/2 + 6 3/7 = *пояснение: приводим к общему знаменателю, т.к. 2 и 7 - простые числа, переумножаем их* 7/14 + 6 6/14= 6 13/14

2) 6 + 4 9/11 = *пояснение: т.к. дробной части у первого числа нет, значит просто складываем целые части* 10 9/11

3)2/9 + 1 8/15 = *пояснение:приводим к общему знаменателю, и для этих дробей он будет равен 45, сл., 45/9 = 5(множитель для первой дроби, 45/15=3(множитель для второй дроби)* 10/45 + 1 24/45 = 1 35/45 = 1 7/9

1) 7 - 5 1/4= 1 3/4

2) 6 - 5 2/3= 1/3

3)12 - 9 3/8= 2 5/8

4) 11- 6 2/3 = 4 1/3

5)8 - 3 2/7 = 4 5/7

6) 5 6/13 - 2= 3 6/13

7)9 3/10 - 4= 5 3/10

8)2 3/14 - 1 = 1 3/14

если не понятно решение 2 номера, объясню в комментариях