Пятый класс страница 26 103 на овощную базу сначала помидоры на 6 машинах по 120 ящиков в каждой потом еще на 8 машинах по 140 ящиков каждой сколько всего ящиков помидоров на базу

6*120=720 ящиків  далі 8*140=1120 ящиків потім 720+1120=1840 ящиків привезли на базу

Решение.
1)6*120 = 720 (ящиков с помидорами) - привезли в первый раз;
2)8*140 = 1120(ящиков с помидорами) - привезли во второй раз;
3)720+1120 = 1840(ящиков с помидорами) - всего.
ответ: 1840 ящиков с помидорами привезли на базу.

Раскроем скобки: 



Тогда наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что (n-1)(n+1) при любом нечетном n кратно 8.
Любое нечётное число можно представить в виде: n = 2k+1, k∈Z (Z - множество целых чисел)



Теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что k(k+1) при любом целом k кратно 2.

Пусть k = 0, тогда произведение равно 0 и отсюда следует, что произведение кратно 2;
Пусть k - нечётное число, тогда k+1 - чётное. Произведение не чётного числа на чётное будет чётным и, следовательно, кратным 2.
Аналогично если k - чётное число.

На основании вышеизложенного приходим к выводу, что (4n+1)² – (n+4)² при любом нечётном n кратно 120.

Представим нечётное n (n=3,5,7,...) через чётное k: n=k+1.

Тогда (4n +1) ² – (n + 4) ² = (4(k+1) +1) ² – ((k+1) + 4) ² = (4k+4 +1) ² – (k+1 + 4) ² =(4k +5) ² – (k + 5) ² = 16k²+40k+25-k²-10k-25=15k²+30k= 15k(k+2).

Если полученное выражение 15k(k+2) кратно 120, то k(k+2) кратно 8.

Поскольку k=2,4,6,..., то m=k/2=1,2,3,..., в таком случае, k=2m и 2m(2m+2) кратно 8, тогда 4m(m+1) кратно 8, откуда следует, что m(m+1) кратно 2. Поскольку произведение m(m+1) при любом целом m состоит из нечётного и чётного сомножителя, оно будет кратно 2 при любом m, откуда последовательно следует, что и при любом n исходное выражение будет кратно 120.

Комментарий: формула работает для всех нечётных n, строго больших единицы.