Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигурна доску 8 × 8. лёня заметил, что в каждом квадрате 2 × 2 стоит одинаковоеколичество фигур. а влад заметил, что в каждом прямоугольнике 3 × 1 (или1×3) стоит одинаковое количество фигур. сколько фигур было выставлено надоску? (укажите все варианты и докажите, что других нет)

Сделаем чертеж:
Красный квадрат накладываем на зелёный и получаем  два прямоугольника 3 х 1

Путем перебора убеждаемся, что решение возможно, если в каждой клетке квадрата 2 х 2 стоит фигура.

ответ:
64 фигуры или доска пустая.

Велосипедист:
Скорость - х км/ч
Время в пути - 60/х ч.

Автомобилист :
Скорость  -  (х+110) км/ч
Время в пути -  60/(х+110)  ч.

Разница во времени : 5,5 ч.

60/х   - 60/(х+110) =5,5
60(x+110)  -60x=5.5x(x+110)
60x+6600-60x= 5.5x²+605x
5.5x²+605x-6600=0    |÷5.5
x²+110x-1200=0
D= 110²-4*1*1200=12100+4800=16900=130²
x₁= (-110-130)/2 = -240/2=-120 - не удовл. условию задачи
x₂=(-110+130)/2= 20/2=10  (км/ч)  - скорость велосипедиста

проверим:
60/10  -  60/(10+110) = 6  - 0,5=5,5 ч.  - разница во времени

ответ: 10 км/ч  скорость велосипедиста.

Велосипедист:
Скорость - х км/ч
Время в пути - 60/х ч.

Автомобилист :
Скорость  -  (х+110) км/ч
Время в пути -  60/(х+110)  ч.

Разница во времени : 5,5 ч.

60/х   - 60/(х+110) =5,5
60(x+110)  -60x=5.5x(x+110)
60x+6600-60x= 5.5x²+605x
5.5x²+605x-6600=0    |÷5.5
x²+110x-1200=0
D= 110²-4*1*1200=12100+4800=16900=130²
x₁= (-110-130)/2 = -240/2=-120 - не удовл. условию задачи
x₂=(-110+130)/2= 20/2=10  (км/ч)  - скорость велосипедиста

проверим:
60/10  -  60/(10+110) = 6  - 0,5=5,5 ч.  - разница во времени

ответ: 10 км/ч  скорость велосипедиста.