1. При каком условии образом точки при двух последовательно выполненных параллельных переносах будет сама эта точка? 2.Каково взаимное расположение прямой a и её образа при параллельном переносе, если образом точки A, принадлежащей прямой a, является точка B, которая: 1) не принадлежит прямой a; 2) принадлежит прямой a?

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Заметим, что в первой строке системы нет параметра. Тогда выгодно построить ее в координатах .

Вторая строка системы представляет из себя окружность, которая имеет фиксированный центр по координатам и переменный радиус .

Будем менять радиус окружности до тех пор, пока не достигнем интересующей ситуации.

(см. прикрепленный файл)

В первом случае окружность касается прямых и . Чтобы найти значение параметра здесь, удобнее всего будет воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой:

Во втором случае окружность проходит через точку . Тогда подставим ее во вторую строку системы:

Получили, что при исходная система имеет ровно четыре различных решения.

Так как по условию просят найти только положительные значения параметра, в ответ пишем .

Задание выполнено!

1

Пошаговое объяснение:

5≡-1(mod3)

10≡1(mod3)⇒10³≡1³≡1(mod3)

5·10³≡-1·1≡-1(mod3)

2≡-1(mod3)⇒2¹⁹⁹⁵≡(-1)¹⁹⁹⁵(mod3)⇒-1(mod3)

2¹⁹⁹⁵ +5·10³ ≡-1+(-1)≡-2≡1(mod3)

. Можно использовать бином Ньютона или разложение выражений вида aⁿ+bⁿ где степень нечётное число или aⁿ-bⁿ где степень произвольное натуральное.

2¹⁹⁹⁵+1=(2+1)(2¹⁹⁹⁴-2¹⁹⁹³+2¹⁹⁹²-...+2²-2+1)=3*(2¹⁹⁹⁴-2¹⁹⁹³+2¹⁹⁹²-...+2²-2+1). Значит это число кратно трём. Пусть 2¹⁹⁹⁵+1=3A

5*10³-5=5*(10³-1)=5(10-1)(10²+10+1)=45(10²+10+1)

Значит и это число кратно трём. Пусть 5*10³-5=3B

2¹⁹⁹⁵ +5*10³=(2¹⁹⁹⁵+1)+(5*10³-5)+4=3A+3B+4=3(A+B+1)+1

Значит  остаток 1