Тема векторы: найти велечину углов, длинны сторон и площадь труеголника abc, где a(1, 3, 1) b(2, 5, 0) c(4, -1, 3) напишите, хотя бы формулы, не могу найти

Даны вершины треугольника ABC: A(1; 3; 1), B(2; 5; 0), C(4; -1; 3).

Определяем векторы.

АВ (2-1=1; 5-3=2; 0-1=-1) = (1; 2; -1). Модуль (длина) = √(1+4+1) = √6.

ВС (4-2=2; -1-5=-6; 3-0=3) = (2; -6; 3). Модуль (длина) = √(4+36+9) = √49=7.

АС (4-1=3; -1-3=-4; 3-1=2) = (3; -4; 2). Модуль (длина) = √(9+16+4) = √29.

cos A = (AC x AB) / (|AC| * |AB|) = (3*1+(-4)*2+2*(-1)) / (√29*√6) =  

= -7 / √174 ≈ -0,53067.  

Угол А = 2,13019 радиан или 122,0506 градуса.

cos B = (BA x BC) / (|BA| * |BC|) = (-1*2+(-2)*(-6)+1*3) / (√6*7) =  

= 13 / 7√6 ≈ 0,728175.

Угол В = 0,71029 радиан или 40,6964 градуса.

BA = (-1; -2; 1), BC = (2; -6; 3)

cos С = (СA x СB) / (|СA| * |СB|) = (-3*(-2)+4*6+(-2)*(-3)) / (√29*7) =  

= 36 / 7√29 ≈ 0,955005.  

Угол С = 0,30112 радиан или 17,2530 градуса.  

СА = (-3; 4; -2),СВ = (-2; 6; -3).

Площадь S = (1/2)|AB| * |AC| * sin A = (1/2)* √6*√29*sin 122,0506° = 5,59017 кв.ед.

Площадь также равна половине модуля векторного произведения векторов АВ (1; 2; -1) на АС (3; -4; 2).

i       j      k |      i      j

1      2     -1 |     1      2

3    -4     2 |     3     -4     =   4i - 3j - 4k - 2j - 4i - 6k = (0i - 5j - 10k).

S = (1/2)√(0 + 25 + 100) = (1/2)√(125 = (5/2)√5 = 2.5*2,2361 ≈ 5,59017 кв.ед.

1. Найдите значение производной функции в точке x₀:

a) y=(3·x-2)⁷, x₀=3

y'=((3·x-2)⁷)'=7·(3·x-2)⁶·(3·x-2)'=7·(3·x-2)⁶·3=21·(3·x-2)⁶

y'(3)=21·(3·3-2)⁶=21·7⁶=21·117649=2470629

б) y=(4-5·x)⁷, x₀=1

y'=((4-5·x)⁷)'=7·(4-5·x)⁶·(4-5·x)'=7·(4-5·x)⁶·(-5)= -35·(4-5·x)⁶

y'(1)= -35·(4-5·1)⁶= -35·(-1)⁶= -35·1= -35

в) y=(2·x+3)⁵, x₀=2

y'=((2·x+3)⁵)'=5·(2·x+3)⁴·(2·x+3)'=5·(2·x+3)⁴·2=10·(2·x+3)⁴

y'(2)=10·(2·2+3)⁴=10·7⁴=10·2401=24010

г) y=(5-3·x)⁷, x₀=1

y'=((5-3·x)⁷)'=7·(5-3·x)⁶·(5-3·x)'=7·(5-3·x)⁶·(-3)= -21·(5-3·x)⁶

y'(1)= -21·(5-3·1)⁶= -21·2⁶= -21·64= -1344

2. Вычислить скорость изменения функции в точке x₀ (скорость изменения равносильно производная первого порядка):

a) y=(2x+1)⁵, x₀= -1

y'=((2·x+1)⁵)'=5·(2·x+1)⁴·(2·x+1)'=5·(2·x+1)⁴·2=10·(2·x+1)⁴

y'(-1)=10·(2·(-1)+1)⁴=10·(-1)⁴=10·1=10

б) , x₀= 1

в) , x₀= 2

г) , x₀= -1

3. Найдите производные функций:

a) y=(x-1)·(x²+x+1) = x³-1

=1·(x²+x+1)+(x-1)·(2·x+1)= x²+x+1+2·x²+x-2·x-1 =3·x²

б)

В задании где-то ошибка. Дело в том, что заданный график функции y=3x²-6x это парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы находится в точке с координатами (1;-3), поэтому в точке (1;-4) не может быть точка касания.
Если предположить, что точка касания (1;-3), то решение будет следующим:
Уравнение касательной
y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)
Так как (1;-3) точка касания, то x₀=1  f(x₀)=-3
Остаётся найти производную и, затем, её значение в точке х₀=1
f'(x)=(3x²-6x)'=6x-6
f'(1)=6*1-6=0
Подставляем все найденные значения в уравнение касательной
y=-3+0*(x-1)=-3
Уравнение касательной - прямая параллельная оси ОХ, проходящая через точку у=-3.