Сколько коробок понадобится, чтобы разложить 12 карандашей так, чтобы число карандашей в каждой коробке было одним и тем же? перечислите все возможные варианты и учтите, что в коробке должно быть более одного карандаша.!

Если сделать так, чтобы в коробках было по два карандаша, то тогда 12/2=6 коробок понадобится
если по 3, то 12/3=4 коробки
если по 4 , то 12/4=3 коробки
если по 6, то 12/6=2 коробки

Число 12 - дюжина не зря применялось с древних времен.
У него много (три) множителей.
12 = 2*2*3 
РЕШЕНИЕ
1) Делим по 2 и получаем
1) 12 : 2 = 6 шт
2) 12 : 3 = 4 шт
3)12 : 4 = 3 шт
4) 12 : 6 = 2 шт.

Чтобы доказать, что ∠ABC = ∠ADC, мы можем использовать два свойства треугольников:

1) Сумма углов в треугольнике равна 180°.
2) Если две стороны треугольника равны, то соответствующие углы при них тоже равны.

Для начала, нам нужно показать, что треугольники ABC и ADC равнобедренные, то есть имеют две равные стороны. Мы знаем, что BC = CD, и угол ACB = 55°.

1) Рассмотрим треугольник ABC. У него есть сторона AB и угол ACB. Мы можем найти третий угол треугольника, используя свойство суммы углов в треугольнике: угол ABC = 180° - угол BAC - угол ACB. Поскольку треугольник ABC является треугольником, сумма углов должна быть 180°, поэтому ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ACB.

2) Рассмотрим треугольник ADC. У него есть сторона AD и угол ADC. Аналогично, мы можем найти третий угол треугольника, используя свойство суммы углов в треугольнике: угол ACD = 180° - угол CAD - угол ADC. Поскольку треугольник ADC является треугольником, сумма углов должна быть 180°, поэтому ∠ACD = 180° - ∠CAD - ∠ADC.

3) Так как мы знаем, что углы ACB и ACD равны, то ACB = ACD.

4) Теперь мы можем сравнить два треугольника ABC и ADC. У них есть равные стороны AB и AD, и равные углы ACB и ACD. Поэтому, по свойству "Если две стороны треугольника равны, то соответствующие углы при них тоже равны", получаем, что ∠ABC = ∠ADC.

Теперь, чтобы найти угол BAD, нам нужно воспользоваться свойством суммы углов в треугольнике. У нас уже есть угол ACB = 55°, и мы только что доказали, что ∠ABC = ∠ADC. Таким образом, угол ABD = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠ADC.

1) Для нахождения длины вектора необходимо применить формулу:
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Подставляя значения координат вектора a, получаем:
|a| = √(3² + 4² + 1²)
|a| = √(9 + 16 + 1)
|a| = √26

Аналогичным образом находим длины векторов b и c:
|b| = √(4² + (-1)² + 3²)
|b| = √(16 + 1 + 9)
|b| = √26

|c| = √(1² + 4² + (-5)²)
|c| = √(1 + 16 + 25)
|c| = √42

2) Для нахождения скалярного произведения векторов необходимо применить формулу:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Подставляя значения координат векторов a и b, получаем:
a · b = 3*4 + 4*(-1) + 1*3
a · b = 12 - 4 + 3
a · b = 11

Для нахождения косинуса угла между векторами, можно использовать следующую формулу:
cos(α) = (a · b) / (|a| * |b|)

Подставляя значения, получаем:
cos(α) = 11 / (√26 * √26)
cos(α) = 11 / 26
cos(α) ≈ 0.423

3) Для нахождения векторного произведения двух векторов необходимо применить формулу:
a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Подставляя значения координат векторов a и b, получаем:
a × b = (4*1 - 1*3, 1*4 - 3*4, 3*(-1) - 4*1)
a × b = (4 - 3, 4 - 12, -3 - 4)
a × b = (1, -8, -7)

Для нахождения площади треугольника, построенного на векторах a и b, можно вычислить половину модуля векторного произведения:
S = 1/2 * |a × b|

Подставляя значения, получаем:
S = 1/2 * √(1² + (-8)² + (-7)²)
S = 1/2 * √(1 + 64 + 49)
S = 1/2 * √114
S ≈ 5.34

4) Для нахождения смешанного произведения векторов необходимо применить формулу:
a · (b × c)

Подставляя значения координат векторов a, b и c, получаем:
a · (b × c) = 3 * ( -8 - (-7) ) - 4 * ( -1 - (-7) ) + 1 * ( -4 - 1 )
a · (b × c) = 3 * ( -8 + 7 ) - 4 * ( -1 + 7 ) + 1 * ( -4 - 1 )
a · (b × c) = 3 * ( -1 ) - 4 * ( 6 ) + 1 * ( -5 )
a · (b × c) = -3 - 24 - 5
a · (b × c) = -32

Для нахождения объема тетраэдра, построенного на векторах a, b и c, можно вычислить половину модуля смешанного произведения:
V = 1/6 * |a · (b × c)|

Подставляя значение, получаем:
V = 1/6 * | -32 |
V = 32/6
V ≈ 5.33

Таким образом, ответ:
1) Длина вектора a ≈ √26, Длина вектора b ≈ √26, Длина вектора c ≈ √42.
2) Скалярное произведение векторов a и b = 11, Косинус угла между векторами a и b ≈ 0.423.
3) Векторное произведение векторов a и b = (1, -8, -7), Площадь треугольника = 5.34.
4) Смешанное произведение векторов a, b и c = -32, Объем тетраэдра ≈ 5.33.