Даны вершины a(x1, y1) ; b(x2, y2); c(x3, y3) треугольника. найти: 1) длину стороны ав; 2) внутренний угол а в радианах с точностью до 0, 001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину с; 4) уравнение медианы проведенной через вершину с; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины с; 7) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника авс. сделать чертеж. а (1; -1); в (-5; 2); с (-2; 3)

1) Длина стороны ВС равна √((Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²) = √((17-1)²+(2-0)²) =
    = √(16²+2²) = √(256+4) = √260 = 2√65 = 16.1245.
   Аналогично находим  длину стороны АВ = 5, и АС = 13.
2) Площадь S = (1/2)*|(Xb-Xc)*(Yc-Ya)-(Xc-Xa)*(Yb-Ya)| =
    = (1/2)*|(1-5)*(2-(-3))-(17-5)*(0-(-3))| = (1/2)*|-4*5-12*3| =(1/2)|-56| = 28.
3) Уравнение стороны ВС: 
    (X-Xb)/(Xc-Xb) = (Y-Yb)/(Yc-Yb)
   (X-1)/(17-1) = (Y-0)/(2-0)
    (X-1)/16 = Y/2
     X-8Y-1=0    или с коэффициентом: У = (1/8)X - (1/8).
4) Уравнение высоты из вершины А:
     (Х-Xa)/(Yc-Yb) = (Y-Ya)/(Xb-Xc)
     (X-5)/(2-0) = (Y-(-3))/(1-17)
     (X-5)/2 = (Y+3)/-16
      8X+Y-37=0     или Y = -8X+37.
    Аналогично находим уравнения высоты из вершины В:
   12Х+5У-12=0,
    и из вершины С:
    4Х-3У-62=0.
5) Высота из вершина А равна Ha = 2S/BC = 2*28 / 2√65 = 3,473.
    Из вершины В: Нв = 2*28 / 13 = 4,308.
    Из вершины С: Нс = 2*28 / 5 = 11,2.
6) Косинус угла В: cosB = (AB²+BC²-AC²) / (2*AB*BC) =
     = (5²+(2√65)²-13²) / (2*5*2√65) = 116/20√65 = 0.7194
Угол В = 0.76786 радиан = 43.9949 градус

Точка перегиба - точка, в которой вторая производная функции меняет знак (равна нулю). Промежутки выпуклости - соотвественно участки с положительной и отрицательной второй производной.
Найдём первую производную: y'=5x^4+3x^2-1
Найдём вторую производную: y''=20x^3+6x = 2х(10х^2+3)
Найдём х, при которых вторая производная равна нулю. По скобке видно, что она всегда положительна, значит единственным таким х будет х=0. Это и будет единственной точкой перегиба функции. Слева от этой точки вторая производная отрицательна - значит функция выпукла вверх, справа положительна - функция выпукла вниз.

ДАНО:Y(x) = x³ -9*x + 9

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

Разложим многочлен на множители. Y=(x--3,41)*(x-1,18)*(x-2,23)

(по теореме Виета - без решения)

Нули функции: Х₁ =-3,41, Х₂ =1,18,  Х₃ =2,23

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-3,41]U[1,18;2,23]  

Положительная -Y(x)>0 X∈[-3,41;1,18]U[2,23;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   9

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² -9 = 3*(x²-3²) = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₄ = -√3 (-1,73)    Х₅= √3 (1,73)

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(-√3) =19,39.   Минимум - Ymin(√3) =-1,39

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;-√3]U[√3;+∞) , убывает - Х∈[-√3;√3]

12. Вторая производная - Y"(x) = 6*x = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=0

13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 0]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 0; +∞).

14. График в приложении.