Вася изменяет число, написанное на доске, по следующему правилу: если это число делится на 3, то вася вычитает из него 1. если при делени на 3 число даёт остаток 2, то вася вычитает из него 2, а если число при делении на 3 даёт остаток 1, то вася прибавляет к нему 2. он начинает с числа 160, какое число получит вася после 28 таких операций?

Первые 2 операции составляют цикл уменьшения числа на 3:
число 3k⇒3k-1=3(k-1)+2⇒3(k-1)
Последняя операция превращает число 3k+1 в 3k+3 - то есть, может быть осуществлена только 1 раз, далее переходи к циклу.
Так как 160=53*3+1, то после первой операции оно превратится в 162=54*3.
Далее 26 операций уменьшат его на 3*(26/2)=49. То есть, получится 162-49=113.
Далее, 28-я операция вычтет из этого числа 1 и получится 112.
ответ: 112

19

Пошаговое объяснение:

Давайте считать.

Разложим на простые множители число 84!

Для того, чтобы найти там нули, нам надо найти там десятки - то есть 5 и 2.

Сколько там будет пятёрок?

Там будут пятерки из таких чисел:

5  10  15  20  25  30  35  40  45  50  55  60  65  70  75  80

Но давайте посмотрим внимательнее, из чисел 25, 50 и 75 будет не 1, а 2 пятёрки, так как они все делятся на 25, а 25 - это две 5.

Тогда запишем количество пятёрок: (под числами)

5  10  15  20  25  30  35  40  45  50  55  60  65  70  75  80

1    1    1     1     2     1     1     1     1     2     1     1     1     1     2     1    - осталось сложить.

1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 19

Очевидно, что двоек будет больше чем пятёрок (если нет, напишите), тогда всего десяток будет 19, значит нулей - 19

Число делится на 11, если разность суммы цифр на нечетных разрядах и суммы цифр на четных разрядах делится на 11.

Покажем, что число, делящееся на 11, может иметь любую сумму цифр, большую 9. Действительно, для любого четного числа  с суммой цифр s>11 подойдет число из n двоек. Для любого нечетного числа выпишем число из s-11 двоек и допишем к нему число 407. (например, для s=11 это будет само 407, для s=13 число 11407, для s=17 число 111111407). Легко видеть, что сумма цифр на нечетных разрядах полученного числа на 4+7=11 больше суммы цифр на четных разрядах числа, что и требовалось.

Теперь рассмотрим произвольное число с суммой цифр 9 и покажем, что оно не делится на 11. Пусть сумма цифр на его четных разрядах равна a, сумма цифр на его нечетных разрядах равна b, a+b=9, оба числа целые неотрицательные. Рассмотрим случай, когда a>b, случай b<a разбирается аналогично. Из условий неотрицательности чисел а a и b и равенства a+b=9 следует двойное неравенство 0<a-b<11, а значит, признак делимости на 11 не выполняется.

ответ: 9.