Стороны треугольника равны 55, 55, 66 см. найти площадь треугольника, вершинами которого служат основания биссектрис данного треугольника.

Надо найти S ΔDD1H=DD1*HH1/2

Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам в треугольнике

AD1 делит ВС на BD1= 5х и D1C=6х

5х+6х=11х=55; x=5; BD1=25; D1C=30

треугольники НВС и Н1ВD1 подобны по 2 углам с k=11/5

H1D1=HC/k=33/(11/5)=15

HD=2H1D1=30

BH^2=BC^2-HC^2=55^2-33^2=44^2; BH=44

HH1=HB-BH1=44-HB/(11/5)=44-44/(11/5)=44-20=24

S=30*24/2=360

1))) m+n + m-n + mn + m/n = 150
2m + mn + m/n = 150
m(2 + n + 1/n) = 150
m*(n^2 + 2n + 1)/n = 150
m*(n+1)^2 / n = 150
m = 150*n / (n+1)^2
и вот эта дробь должна быть целым числом...
150 раскладывается на множители так: 150 = 2*5*5*3
если в числителе n---четное, то в знаменателе  (n+1)---нечетное число...
чтобы дробь сократилась и получилось целое (n+1) должно равняться 5...
тогда n = 4
значит m = 24
ПРОВЕРКА: (24+4) + (24-4) + 24*4 + 24/4 = 28 + 20 + 96 + 6 = 48+102 = 150
4))) 10x-y = (x-1)^2+(y-1)^2
10x-y = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1
x^2 - 12x + y^2 - y + 2 = 0 ---это уравнение окружности, т.е. решением будет множество точек (точки, лежащие на окружности...)
x^2 - 12x + 36-36 + y^2 - y +1/4 - 1/4 + 2 = 0 (выделим полные квадраты ---найдем координаты центра окружности и радиус...)
(x-6)^2 + (y-1/2)^2 - 36 - 1/4 + 2 = 0
(x-6)^2 + (y-1/2)^2 = 34целых 1/4
это окружность с центром в точке (6; 1/2) и радиусом V137 / 2
т.к. это множество точек, то можно назвать, например, несколько...
y=0, тогда 10x = x^2 - 2x + 2
x^2 - 12x + 2 = 0
D = 144-4*2 = 136
x(1;2) = (12+-2V34)/2 = 6 +- V34
это могут быть пары чисел (6+V34; 0), (6-V34; 0)...

1))) m+n + m-n + mn + m/n = 150
2m + mn + m/n = 150
m(2 + n + 1/n) = 150
m*(n^2 + 2n + 1)/n = 150
m*(n+1)^2 / n = 150
m = 150*n / (n+1)^2
и вот эта дробь должна быть целым числом...
150 раскладывается на множители так: 150 = 2*5*5*3
если в числителе n---четное, то в знаменателе  (n+1)---нечетное число...
чтобы дробь сократилась и получилось целое (n+1) должно равняться 5...
тогда n = 4
значит m = 24
ПРОВЕРКА: (24+4) + (24-4) + 24*4 + 24/4 = 28 + 20 + 96 + 6 = 48+102 = 150
4))) 10x-y = (x-1)^2+(y-1)^2
10x-y = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1
x^2 - 12x + y^2 - y + 2 = 0 ---это уравнение окружности, т.е. решением будет множество точек (точки, лежащие на окружности...)
x^2 - 12x + 36-36 + y^2 - y +1/4 - 1/4 + 2 = 0 (выделим полные квадраты ---найдем координаты центра окружности и радиус...)
(x-6)^2 + (y-1/2)^2 - 36 - 1/4 + 2 = 0
(x-6)^2 + (y-1/2)^2 = 34целых 1/4
это окружность с центром в точке (6; 1/2) и радиусом V137 / 2
т.к. это множество точек, то можно назвать, например, несколько...
y=0, тогда 10x = x^2 - 2x + 2
x^2 - 12x + 2 = 0
D = 144-4*2 = 136
x(1;2) = (12+-2V34)/2 = 6 +- V34
это могут быть пары чисел (6+V34; 0), (6-V34; 0)...