Определите, какие из чисел являются натуральными a) число на 1 больше, чем 556; b) число на 1 меньше, чем 56300; c) число, предшествует единице; d) число, следующее за числом 999 выбрать правильный ответ

Числа под буквами a, b, d являются натуральными

Последнюю цифру пример за x. 0≤x<10

Возьмем x=0, тогда 0*9=0, кончается на 0, а x=0, подходит.
Возьмем x=1, тогда 1*9=9, оно однозначное, не подходит.
Возьмем x=2, тогда 2*9=18, кончается на 8, а x=2, не подходит.
Возьмем x=3, тогда 3*9=27, кончается на 7, а x=3, не подходит.
Возьмем x=4, тогда 4*9=36, кончается на 6, а x=4, не подходит.
Возьмем x=5, тогда 5*9=45, кончается на 5, а x=5, подходит.
Возьмем x=6, тогда 6*9=54, кончается на 4, а x=6, не подходит.
Возьмем x=7, тогда 7*9=63, кончается на 3, а x=7, не подходит.
Возьмем x=8, тогда 8*9=72, кончается на 2, а x=8, не подходит.
Возьмем x=9, тогда 9*9=81, кончается на 1, а x=9, не подходит.

Таким образом, это числа 0 и 45

1/n(n+1) = 1/n - 1/n+1

Пусть есть сумма чисел:

1/p(p+1) + 1/(p+1)(p+2) + ... + 1/(p+q)(p+q+1).

Эта сумма равна:

1/p - 1/(p+1) + 1/(p+1) - 1/(p+2) +...+ 1/(p+q) - 1/(p+q+1) = 1/p - 1/(p+q+1)

Выберем случайное (достаточно большое для выполнения условия про 1/2000) k. Докажем, что между дробями 1/(k)(k+1) и 1/(k+1)(k+2) лежит хотя бы одно плохое число. Выберем простое число t, большее 2k(k+1)(k+2) (такое найдётся из-за бесконечности простых чисел) и найдём самую маленькую дробь (так как их хотя бы две) со знаменателем, равным t, и лежащую между 1/k(k+1) и 1/(k+1)(k+2). Такая найдётся, так как разность этих двух дробей больше дроби 1/t. Пусть эта дробь равна d/t (она несократима из-за простоты t).

Пусть d/t не является плохим числом. "Начальным членом" суммы чисел будет число, не меньшее 1/k(k+1). Пусть сумма всех дробей равна 1/p - 1/q. Тогда (q-p)/pq = d/t. Тогда либо p, либо q делится на t. Но это не может быть p, так как если p делится на t, то 1/p < d/t. Значит, q делится на t. Но так как мы знаем хотя бы две дроби со знаменателем t (между 1/k(k+1) и 1/(k+1)(k+2)), то мы не получим меньшую, так как p не больше k, а q не меньше t (мы можем попасть на большую из двух дробей со знаменателем t, но не на меньшую из-за малой величины "шага"). Противоречие.

Значит, d/t - плохое число. А оно "зависело" от k, следовательно, для каждого натурального k оно есть. А натуральных чисел бесконечно много, из чего и плохих дробей - тоже.

ответ: верно.