Олимпиадного уровня. на дошці написано натуральні числа від 1 до 10. дозволяється витирати будь які два числа х і у, а замість них записати на дошку числа х-1 і у+3. чи можна за декілька таких операцій отримати на дошці числа 2; 3; 4; ; 9; 10; 2018?

Заметим, что после арифметических операций сумма чисел увеличивается на 2(x-1+y+3=x+y+2 ). Тогда вначале арифметических операций сумма была 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 - нечетное, т.е. после каждых арифметических операций сумма чисел будет нечетным, но исходная сумма чисел 2+3+4+...+10+2018 = 2078 - четно.

Получили противоречие.

ответ: Нет.

Решение

Признаки делимости на 2: число делится на 2, если последняя его цифра делится на 2, то есть число четное.

Признаки делимости на 9: если сумма цифр целого числа делится на 9, то и само число делится на 9

Посчитаем сумму цифр 864*

8+6+4=18-делится на 9, значит вместо звёздочки можно подставить 9 или 0

Получим

числа 8640 - сумма цифр 8+6+4+0=18 - делится на 9

Число 8649 - сумма цифр 8+6+4+9=27 - делится на 9

Теперь по признаку делимости на 2, выберем искомое число.

число 8640 - четное, делится на 2 - ПОДХОДИТ

число 8649 - не четное, не делится на 2, не подходит

ответ: искомое число 8640

Рассмотрим один из равных треугольников, разделённых высотой.
один катет = 12 (это высота)
второй катет обозначим 3 Х
гипотенузу обозначим 5Х (это сторона большого треугольника)
уравнение:  25 Х квадрат = 144 + (3Х) в квадрате  - по теореме Пифагора.
Решаем:
16 Х квадрат = 144
Х квадрат = 9
Х = 3,
 отсюда гипотенуза маленького треугольника, она же сторона большого треугольника равна 3 х 5 = 15
катет маленького треугольника, он же 1/2 основания большого треугольника
3 х 3 = 9, а всё основание равно  9 х 2 = 18
Искомая площадь треугольника равна 18 х 12 / 2 = 108