Вкорзине лежат 10 красных и 10 синих ручек. укажите сколько ручек, не глядя в коробку, надо вытащить, чтобы среди ручек обязательно нашлись нашлись 2 ручки разного цвета.

Если нам очень не повезет, мы сначала достанем 10 ручек любого одного цвета, и только следующая ручка даст нам пару разного цвета. Итого: 10+1=11 ручек ответ:11

Ну, предположим такое число существует, и записывается как ab
a - первая цифра, b - вторая
Тогда само число x = 10*a + b (ведь в числе a десятков и b единиц)
Причем 0>a>=9 0>=b>=9  (>= меньше либо равно)
тогда 2*a*b = 10*a + b

Дальше размышляем так. Поскольку искомое число в два раза больше, то число это - четное, b (окончание числа) может быть только 0,2,4,6,8.
Заменим b = 2c, где c = 0,1,2,3,4
4*a*c = 10*a  + 2*c
2ac = 5a + c;
5a = c - 2ac;
5a = c (1 - 2a);
Значит c (1-2a) кратно 5, 5 - простое число, значит либо с кратно 5, либо (1-2a) кратно 5
У с такой вариант лишь один c = 0, отсюда получим 5a = 0 => a = 0 - противоречит условию задачи, значит
1-2a = 0, либо 1-2a = 5; Тут опять если мы 0 возьмем, то  5a = 0 => a = 0 - противоречит условию задачи, значит
остаётся лишь одно:
1-2a = 5;
2a = 1 + 5 = 6;
a = 3;
Подставим в самое первое уравнение:
2*3*b = 3*10 + b;
6*b = 30 + b;
5*b  = 30;
b = 6;
Значит число это 36
ответ: 36

P.S. Очень сомневаюсь что решение короче возможно.

Налить полный 5-ти литровый сосуд. Вылить из него в 9-ти литровый сосуд.
Повторить операцию. Только все вылить не получится. В 5-ти литровом останется 1л в 12-ти литровом останется 2л и будет полное 9-ти литровое.
Из 9 литрового выливаем все в 12 литровое. Из 5-ти выливаем один литр в 9-ти литровое. Получаем в девятилитровом 1 литр. Наполняем 5 литровый сосуд и выливаем его в 9-ти литровый. Получаем в девятилитровом 6 литров и в 12 литровом 6 литров.

12 литровый сосуд =а
9 литровый  сосуд =б
5 литровый сосуд = в

12-5=7 осталось в сосуде а
выливаем из "в" в сосуд "б"=5л
Повторяем 7-5=2
выливаемиз "в" в "б" т.к. там уже есть 5 л, а он сам 9-ти литровый, то выливаем только 4 литра и получаем в сосуде "в" 1 литр. Из сосуда "б" выливаем все в сосуд "а".
Из "в" выливаем оставшийся литр в сосуд "б". Из а льем в  "в" потом из "в" льем в "б". В "б" получили 6 литров, в в сосуде "а" осталось 6 литров.