1.на прямій відмітили три точки a, b, c, так , що ab =20см bc =10 см . відстінт між серединами відрізків ab , ac . 2. кожен з 3 учнів випосав 100 слів . рісля цього слова, що траплялися не менше двох разів, викрислели . як наслідок , в одного учня залишилось 45 слів, у другого -68 слів , а в тетього -54 слова. довести, що принаймні одне слово виписала два три учні .

Задание 1.

1 вариат когда все отмеченые точки идут друг за другом АВС

А -20см- В - 10см -С

2 вариант когда С стоит между А и В , АСВ

А -10см-С-10см-В

Для 1го варианта растояние между центрами=1/2АВ+1/2ВС=15см

Для 2го варианта =модуль(1/2АВ-1/ВС)=5см

(модуль используется когда ВС больше АВ, САВ последовательность)

Задание2.

100-45=55, 100-68=32, 100-54=46

Общее число вычеркнутых слов=55+32+46=143слова

1. если ни 1 слово не написали все 3 ученика, то значит общее число вычеркнутых будет кратно 2.  А 143 = не кратно 2, так что как минимум 1 слово вычеркнули 3 ученика

2. если все слова были разные - не было бы вычеркнутых ( это к Докажите о 2х учениках)

11) x : 1,15 = 0,16;

   х = 0,16 · 1,15

  x = 0,184

12) 0,408 : x = 1,7;

  x = 0,408 : 1,7

  x = 0,24

13) (x + 9,14) : 7,2 = 5;

    x + 9,14 = 7,2 · 5;

    x = 36 - 9,14

    x = 26,86

14) 2,2 - x: 0,3 = 0,13;

    x : 0,3 = 2,2 - 0,13

     x : 0,3 = 2,07

      x = 2,07 · 0,3

      x = 0,621

15) 5,6 : (x + 1,6) = 0,08

     x + 1,6 = 5,6 : 0,08

     x + 1,6 = 70

    x =  70 - 1,6

    x = 68,4  

16) 5,6 : x + 0,16 = 0,3

    5,6 : x = 0,3 - 0,16

    5,6 : x = 0,14

    x = 5,6 : 0,14

    x = 40

17) 4,13 - 1,7x = 4,028

    1,7x = 4,13 - 4,028

    1,7x = 0,102

    x = 0,102 : 1,7

      x = 0,06

18) 64 : (2,4y + 19,04) = 3,2​

    2,4y + 19,04 = 64 : 3,2​

    2,4y + 19,04 = 20

    2,4y = 20 - 19,04

    2,4y = 0,96

     y = 0,96 : 2,4

     y = 0,4

ПРИМЕР №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти:

1) grad z в точке A; 2) производную данной функции в точке A в направлении вектора a.

z=5x²*y+3xy²

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

grad(z)=(10xy+3y²)i+(5x²+6xy)j

Найдем градиент в точке А(1;1): grad(z)A=(10·1·1+3·1²)i+(5·1²+6·1·1)j или grad(z)A=13i+11j

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.

Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

ПРИМЕР №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0).

Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А.

б) производную в точке А по направлению вектора а.

 

ПРИМЕР №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2).

z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^x

Решение.

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.

Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

 

ПРИМЕР №4. Дана функция . Найти:

1) gradu в точке A(5; 3; 0);

2) производную в точке А в направлении вектора a=i-2j+k.

Решение.

1. .

Найдем частные производные функции u в точке А.

;;

, .

Тогда  

2. Производную по направлению вектора a в точке А находим по формуле

.

Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти cos α, cos β, cos γ, найдем единичный вектор a0 вектора a.

, где .

Отсюда .

ПРИМЕР №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a.

Решение.

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.