Пятиклассникам для изготовления поделок купили 70 красных, 42 синих и 98 белых мотков ниток. какое наибольшее число поделок могут изготовить учащиеся, если во всех поделках использовать одинаковое число красных, синих и белых мотков ниток? сколько красных, сколько синих и сколько белых мотков ниток будет в каждой поделке?

14 поделок.

Пошаговое объяснение:

70 = 2*5*7

42 = 2*3*7

98 = 2*7*7

НОД (70, 42, 98) = 2*7 = 14

Значит, получится 14 поделок, в каждой 5 красных, 3 синих и 7 белых ниток.

Чтобы узнать количество поделок, нужно найти наибольший общий делитель данных чисел. Для этого разложим числа на простые множители и перемножим общие (подчёркнуты):

70 = 2 * 5 * 7

42 = 2 * 3 * 7

98 = 2 * 7 * 7

НОД (70; 42; 98) = 2 * 7 = 14 - поделок можно сделать

В каждой поделке будет:

70 : 14 = 5 мотков - красных

42 : 14 = 3 мотка - синих

98 : 14 = 7 мотков - белых.

Решаем систему сложения.
Умножаем первое уравнение на (-12), второе на (19):
144х-228у=216
-323х+228у=-380
Складываем
-179х=-164
х=164/179
х≈0,9
Умножаем первое уравнение на (-17), второе на (12):
204х -323у =306
-204х+144у=-240
Складываем
-179у=66
у=-66/179
у≈-0,4

Графическое решение.
Строим прямую
-12х=19у=-18

19у=-18+12х
19·у=6·(-3+2х)
Чтобы получить целочисленные координаты,
берем  (-3+2х) кратным 19

-3+2х=19 ⇒ 2х=22;   х=11
19·у=6·19⇒  у=6
(11;6) 

-3+2х=-19  ⇒2х=-16;  x=-8
19·у=6·(-19) ⇒  у=-6
Проводим прямую ( на рисунке красного цвета) через точки
(11;6) и (-8; -6)

Строим прямую
-17х+12у=-20

17х=12у-20
17·х=4·(3у-5)
Чтобы получить целочисленные  координаты,
выбираем  (3у-5) кратным 17

3у-5=34⇒ 3у=39;   у=3.

17х=4·34 ⇒ х=8
(8;3) 

3у-5=-17 ⇒ 3у=-12; у=-4
17х=4·(-17) ⇒х=-4
(-4;-4)

Проводим прямую (синего цвета)через точки (8;3) и (-4; 4).
Точка пересечения имеет координаты (≈0,9; -0,4)

Решаем систему сложения.
Умножаем первое уравнение на (-12), второе на (19):
144х-228у=216
-323х+228у=-380
Складываем
-179х=-164
х=164/179
х≈0,9
Умножаем первое уравнение на (-17), второе на (12):
204х -323у =306
-204х+144у=-240
Складываем
-179у=66
у=-66/179
у≈-0,4

Графическое решение.
Строим прямую
-12х=19у=-18

19у=-18+12х
19·у=6·(-3+2х)
Чтобы получить целочисленные координаты,
берем  (-3+2х) кратным 19

-3+2х=19 ⇒ 2х=22;   х=11
19·у=6·19⇒  у=6
(11;6) 

-3+2х=-19  ⇒2х=-16;  x=-8
19·у=6·(-19) ⇒  у=-6
Проводим прямую ( на рисунке красного цвета) через точки
(11;6) и (-8; -6)

Строим прямую
-17х+12у=-20

17х=12у-20
17·х=4·(3у-5)
Чтобы получить целочисленные  координаты,
выбираем  (3у-5) кратным 17

3у-5=34⇒ 3у=39;   у=3.

17х=4·34 ⇒ х=8
(8;3) 

3у-5=-17 ⇒ 3у=-12; у=-4
17х=4·(-17) ⇒х=-4
(-4;-4)

Проводим прямую (синего цвета)через точки (8;3) и (-4; 4).
Точка пересечения имеет координаты (≈0,9; -0,4)