Имеется 15 внешне одинаковых колец из них 14 одинаковых масса одной бракованной легче остальных как с не более трёх внешний на чашечных весах без гирь найти бракованная кольцо.

Существует формула вычисления радиуса вписанной в многоугольник окружности, которая выглядит так:
r=S/p, где
S - площадь многоугольника, а p- полупериметр многоугольника, который в нашем случае равен 
p=72:2=36 см
Подставляем в формулу и находим площадь
10=S/36
S=10*36=360 см².

Формулу отыскания площади многоугольника можно вывести простым логическим рассуждением:
пусть r - радиус вписанной окружности, а₁, а₂, а₃ ... а(n) - стороны многоугольника, которые также являются касательными к окружности, т.е. радиус перпендикулярен стороне многоугольника. Соединим центр окружности и вершины многоугольника, получим n треугольников, площадь каждого из которых s₁=(1/2)*a₁*r
s₂=(1/2)*a₂*r
...
s(n)=(1/2)*a(n)*r
Площадь многоугольника равна сумме площадей полученных треугольников
S=s₁+s₂+...+s(n)=(1/2)*a₁*r+(1/2)*a₂*r+...+(1/2)*a(n)*r=(1/2)*r*(a₁+a₂+...+a(n))
a₁+a₂+...+a(n) и есть периметр многоугольника, поэтому можно записать
S=(1/2)*r*P=r*p

Для того чтобы найти точки перегиба данной функции найдем первые производные от данной функции по х и по y:

∂Z / ∂x = Z'x = (x^3 + y^3 - 3xy)'= 3x^2 - 3y;

∂Z / ∂y = Z'y = (x^3 + y^3 - 3xy)' = 3y^2 - 3x;

Решим систему из двух уравнений:

3x^2 - 3y = 0;

3y^2 - 3x = 0;

x^2 - y = 0;

y^2 - x = 0;

x^2 = y;

y^2 = x;

x^4 = x;

x(x^3 - 1) = 0;

x^3 = 1; x1 = 0;

x2 = 1^(1 / 3) = 1, подставим в первое уравнение системы:

y1 = x^2 = (1)^2 = 1; y2 = 0;

Точки перегиба (1 ; 1) и (0; 0);

z1 = 1^3 + 1^3 - 3 * 1 * 1 = 1 + 1 - 3 = - 1;

z2 = 0;

ответ: (1; 1; - 1) и (0; 0; 0).