Исследовать функцию и построить её график y=x³/x-1 (найти область определения d(f), выяснить чётность или не чётность переодической, найти точки пересечения с осями координат, найти асимптомы графика функций, найти промежутоки монотоности и экстремумы, найти промежутки выпуклости и точки перегиба, и построить график)

Пошаговое объяснение:

ДАНО: Y = x³/(x-1)

Исследование

1. Область определения: D(х)= R\{1} =  (-∞;1)∪(1;+∞).  

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2.Поведение в точке разрыва. LimY(1-)= -∞, LimY(1+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = 1. Неустранимый разрыв II-го рода.  

3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.    

k = lim(+∞)Y(х)/x = х³/(x²+ x) = ∞ - коэффициент наклона.

Наклонной асимптоты  нет.  

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0.  

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0) = 0  

6. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(0;1).

Положительна: Y>0 - X∈(-∞;0)∪(1;+∞)  

7. Проверка на чётность.  

Функция со сдвигом от осей симметрии  - функция общего вида.

Ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ни чётная:  Y(-x) ≠ Y(x)

8. Поиск экстремумов по первой производной.      

 

Корни квадратного уравнения. х1 = 0  и х2= 3/2 = 1,5.  

9. Локальные экстремумы.  

Минимум: Y(1,5) = 6.75 , Максимум: Y(0) = 0

10. Интервалы монотонности.    

Возрастает: X∈(1.5;+∞)  

Убывает: Х∈(-∞;1)∪(1;1.5)

11. Поиск перегибов по второй производной.    

y''(x) = 2*x*(x²-3*x+3)/(x-1)² = 0

x = 0  и точка разрыва при Х = 1.      

12. Выпуклая - 'горка' - X∈(0;1).

Вогнутая - 'ложка'- X∈(-∞;0)∪(1;+∞;).  

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

Рисунок с графиком функции в приложении.

Вычислим значение выражений и сравним их.

а) 300÷6 = 50;  47+3 = 50;  50 = 50

300÷6 = 47+3

б) 60×4 = 240;  160-60 = 100;  240 > 100

60×4 > 160-60

в) 900+8 = 908;  140×7 = (100+40)×7 = 700+280 = 980;  908 < 980

900+8 < 140×7

г) 609-9 = 600;  40×9 = 360;  600 > 360

609-9 > 40×9

д) 9000÷3-200 = 3000-200 = 2800;  600×4 = 2400;  2800 > 2400

9000÷3-200 > 600×4

е) 80×9+280 = 720+280 = 1000;  8000÷8 = 1000;  1000 = 1000

80×9+280 = 8000÷8

ж) (90+2)×5 = 450+10 = 460;  500-40 = 460;  460 = 460

(90+2)×5 = 500-40

з) (400-40)÷6 = 360÷6 = 60;  200-150 = 50;  60 > 50

(400-40)÷6 > 200-150

1)Обозначим нечетное число как (2n+1). Тогда (2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1).
Если в качестве n взять число больше 2, то произведение n(n+1) будет четным, т. е. неким 2m. Получим (2n+1)^2-1=4*2m=8m. т. е. разность между квадратом нечетного числа и единицей делится на 8, если это нечетное число больше или равно
2) А вот так попроще. Из равенства к^2-1=(к-1)(к+1) и условия, что к - нечетное число следует, что мы имеем дело с произведением двух последовательных четных чисел. Одно из них тогда делится на 4, а произведение на 8.