в угол вписаны две касающиеся внешним образом окруж-ности. длина большей из них равна 12 см, расстояниеот ее центра до вершины угла равно 30 см. найдите длинуменьшей окружности.​

Длина окружности вычисляется по формуле

C = 2·π·R

Дано (см. рисунок)

С(2) = 12 см - длина окружности с центром в точке О₂

ОО₂=30 см

Найти: С(1) - длина окружности с центром в точке О₁

Решение.

Из С(2) = 12 см находим радиус большой окружности

2·π·R₂ = 12 см или R₂ = ВО₂ =6/π см .

Длина меньшей окружности равна С(1)=2·π·АО₁ .

Радиусы обоих окружностей перпендикулярны к прямой ОВ, то есть углы О₁АО=О₂ВО. С другой стороны угол АОО₁= ВОО₂ и поэтому верно первый признак подобия треугольников:

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны..

Тогда по свойству подобных треугольников получим:

ВО₂ : ОО₂=АО₁ : ОО₁

Но ОО₁=ОО₂-О₂Р-РО₁ или ОО₁=ОО₂-ВО₂-АО₁. Тогда

ВО₂ : ОО₂=АО₁ : (ОО₂-ВО₂-АО₁)

Отсюда

ВО₂·(ОО₂-ВО₂) - ВО₂·АО₁ = АО₁ · ОО₂

(ОО₂ + ВО₂)·АО₁ = ВО₂·(ОО₂-ВО₂)

АО₁ = ВО₂·(ОО₂-ВО₂) : (ОО₂ + ВО₂) = 6/π· (30-6/π) : (30 + 6/π)

Теперь вычислим длину меньшей окружности

С(1)=2·π·АО₁ = 2·π·6/π·(30-6/π) : (30 + 6/π)=

=12·(30-6/π) : (30 + 6/π)=12·(30·π-6) : (30·π + 6).

ответ: 12·(30·π - 6)/(30·π + 6)

Пошаговое объяснение:

Задача решается только при условии, что трапеция равнобочная, т.е АВ = СД.  

поскольку угол Д-60гр., то угол САД равен 30 градусов (180-90-60),  

известно, что катет лежащий против угла в 30 гр,равен половине гипотенузы, т.е АД.  

Далее, расмотрим треугольник АВС- он равносторонний, поскольку углы САД и ВСА равны, и углы САД и САВ тоже равны, поскольку АС- биссектриса.  

Отсюда ясно, что верхнее основание и боковые стороны равны- обозначим их Х  

А нижнее основание будет 2Х.  

Тогда систавин и решим уравнение  

35= Х+Х+Х+2Х= 5Х  

Х= 7

В треугольнике АСД, по условию угол АДС = 600, а угол АСД = 900, тогда угол АСД = 180 – 90 – 60 = 300.
Так как АС биссектриса угла ВАД, то угол ВАД = ВАС + САД = 30 + 30 = 600, следовательно, трапеция равнобедренная и АВ = СД.
Пусть длина АВ = Х см.
В треугольнике АСД, по условию угол АДС = 600, а АС перпендикулярно СД, тогда угол САД = 180 – 90 – 60 = 300.
Катет СД = АВ = Х см, и лежит против угла 300, тогда гипотенуза АД равна длине двух катетов СД.
АД = 2 * СД = 2 * Х.
Тогда периметр трапеции равен:
Р = АВ + ВС + Сд + АД = Х + Х + Х + 2 * Х = 5 * Х = 35 см.
Х = 35 / 5 = 7 см.
АВ = ВС = СД = 5 см.
ответ: Длина АВ = 5 см.