Алексей вильнюсов наугад выбирает два натуральных числа p и q. найдите вероятность, что дробь p/q окажется несократимой.

Пошаговое объяснение:

Ясно, что дробь является сократимой, если у p и q есть общий простой делитель. Вероятность того, что произвольное число делится на простое  число есть очевидно , а что не делится . Также ясно, что делимость на разные простые числа - события независимые. Из вышесказанного следует, что вероятность того, что дробь не сокращается на простое число

Вспомним формулу суммы геометрической прогрессии:

Отсюда

Сделаем такое с каждой скобкой в нашем выражении для :

Тогда

Легко увидеть, что это равно

т. е. сумме ряда обратных квадратов. Его значение можно легко получить например разложив в ряд Фурье и посмотрев значение в точке . Итак, сумма этого ряда есть

Откуда получаем ответ.

1) Пусть количество джипов=х, тогда после обмена количество джипов сократилось на 10% , т.е. стало 100%-10%=90% =0,9х (90%:100%=0,9) джипов.
2) Количество джипов и спорткаров вначале было поровну, т.е. х.
После обмена количество спорткаров увеличилось на 25 %, т.е. стало 100%+25%=125%=1,25х (125%:100%=1,25) спорткаров.
3) Спорткаров стало больше, чем джипов на 14 штук:
1,25х-0,9х=14
0,35х=14
х=40 (спорткаров и 40 джипов было изначально).
4) Посчитаем количество спорткаров после обмена:
1,25х=1,25*40=50
ответ: после обмена у Сидорова стало 50 спорткаров.

В начале решения находим точки пересечения линий, они дадут пределы интегрирования. Решим уравнение  х² + 1 = х + 3.
х² - х -2 = 0, х = 2 или х = -1. Это абсциссы точек пересечения. Считаем координаты точек.(-1;2) и (2;5).
Для нахождения площади фигуры,ограниченной линиями находим площадь трапеции, ее основания 2 и 5, а высота 3.
S = (2+5)/2*3 =10,5.
Найдем площадь фигуры под параболой . Интеграл от -1 до 2 от (х²+1)dx = (1/3х³ + х)  подстановка от-1 до 2 = (1/3 *2³ +2) - (1/3 *(-1)³-1) = 6.
 Теперь от всей трапеции отнимем часть под параболой 10,5 -6 =4,5.