Корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь слагаемое из одной части в другую, при это его знак.

Корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, поменяв при этом его знак.

Корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив   при это его знак на противоположный

Проверяем при n=1     
слева  только первое слагаемое 1 ,    справа 1·(2·1-1)=1
1=1
Предположим, что равенство верно при n=k
1+5+9++(4k-3)=k(2k-1)
и используя это равенство докажем, что верно при n=k+1

1+5+9++(4k-3)+(4k+4-3) =(k+1)(2k+2-1)    (**)
 
Для доказательства возьмем левую часть сведем к правой.
Заменим в левой части последнего равенства 1+5+9++(4k-3) на k(2k-1).

Получим    k(2k-1) + (4k+4-3)=  упростим=2k²-k+4k+1=2k²+3k+1=(k+1)(2k+1)
А это и есть правая часть равенства ( **)
Согласно принципа математической индукции равенство верно для любого натурального n.

Пусть
А(0;0:0) В(1;0:0) С(0;1:0) S(0;0:1)
вектор SA = (0: 0: -1)
вектор SB = (1: 0: -1)
вектор SC = (0: 1: -1)
|SA| = корень (0^2+ 0^2 +(-1)^2)=1
|SB| = корень (1^2+ 0^2 +(-1)^2)=корень(2)
|SC| = корень (0^2+ 1^2 +(-1)^2)=корень(2)
угол BSA = arccos((SA*SB)/(|SA| *|SB| )) = arccos((0*1+0*0+(-1)*(-1))/(1 * корень(2) )) = 45
угол СSA = arccos((SA*SС)/(|SA| *|SС| )) = arccos((0*0+0*1+(-1)*(-1))/(1 * корень(2) )) = 45
угол BSС = arccos((SС*SB)/(|SС| *|SB| )) = arccos((0*1+1*0+(-1)*(-1))/(корень(2) * корень(2) )) = arccos(1/2)=60

площадь АВС = |[АВ*АС]/2|=1/2
объем SABC = площадь АВС * h /3 = 1/2 *1*1/3 = 1/6