с заданием :Найти такие четыре натуральных числа, что произведение любых трёх из них, сложенное с единицей, делится на четвёртое.

1)Да. Четыри прямых, две из которых проходят через диагонали квадрата, а другие две через середины противоположных сторон. Ето легко показать если взять квадратный лист бумаги и сложить пополам и розложыть - тогда линия сгина и будет частю (сгин конечен, а прямая - нет) оси симетрии. А таких разных складываний есть 4.
2)Нет. Треугол. бывают с прямым углом - прямоуголные. есть такая теорема:сума углов треугольника равна 180 гр., а так как 90 менше 180, то на остальные 2 угла остается еще 90 гр. то есть существуют треугольники с углом 90гр.
3)Да. Пускай m:n=m*(1/n) операцию деления поменяем умножением. Уменшим делимое и повтори замену операций (m:2):n=(m*1/2)*1/n=. А теперь скобки можна опустить так как неважно в каком порядке перемножать - результат тот же. =m*1/n*1/2, а m*1/n есть частное которое умн. на 1/2 и будет в два раза менше.
Например: 12:3=4.    12:2:3=2
4)Нет. Пускай сторона квадрата 2а, тогда его площа S=(2a)^2=4a^2. Уменшим сторону в двое- получим квадрат с стороной а и площей S1=a^2 и видим что его площа в 4 раза менше, а не в два.

число сумм не превышает шести

сумма всех 10 чисел равна 10*11\2=55

сумма первого столба+сумма второго столбца равна сумме всех 10 чисел, т.е. равна 55

если сумма одного из столбцов равна нечетному числу, то сумма второго четная (55 нечетная, разница двух нечетных четное число)

только одно четное число - число 2 может быть простым числом.

2 не дает ни одна сумма данных чисел.

таким образом мы доказали что среди указанных сумм не может быть больше 6 простых чисел.

Докажем теперь, что среди 7 сумм может быть 6 простых чисел.

Тако разбиение чисел таблицы можно сделать например так

порядок заполнения

 

первая строка чила 1 и2

 

вторая строка числа 4 и 3

 

третья строка числа 5 и 6

 

четвертая строка числа 10 и 7

 

пятая строка числа 9 и 8

 

1+2=3

4+3=7

5+6=11

10+7=17

9+8=17

1+4+5+10+9=29

 

3,7,11,17,17,29 - простые числа

таким образом мы доказали что наибольшее число этих сумм, что может оказаться простыми числами равна 6.

ответ: 6