В пакете было 100 конфет, а в коробке 50 штук.Из пакета взяли некоторое количество конфет, а из коробки добавили в 2 раза больше, при этом в пакете оказалось на 20 конфет больше, чем в коробке.Сколько конфет взяли из пакета и сколько добавили в коробку

Стало больше в пакете.в 2раза

Пример:

В коробке 20 конфет

В пакете в 2 раза менше(10)

Половину из коробки (20:2=10) переложили в пакет.

В пакете стало 10+10=20

Система векторов a1,a2,...,an называется линейно зависимой, если существуют числа λ1,λ2,...,λn такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и λ1a1+λ2a2+...+λnan=0. В противном случае система называется линейно независимой.

Два вектора a1 и a2 называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора a1,a2 и a3 называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

Геометрические критерии линейной зависимости:

а) система {a1,a2} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1 и a2 коллинеарны.

б) система {a1,a2,a3} линейно зависима в том и только том случае, когда векторы a1,a2 и a3 компланарны.

Примеры.

2.19.

Разложить вектор s=a+b+c по трем некомпланарным векторам: p=a+b−2c, q=a−b, r=2b+3c.

Решение.

Найдем такие α,β и γ, что s=αp+βq+γr:

s=a+b+c=α(a+b−2c)+β(a−b)+γ(2b+3c)=

=a(α+β)+b(α−β+2γ)+c(−2α+3γ).

Из этого равенства, приравнивая коэффициенты при a,b и c получаем систему уравнений:  

⎧⎩⎨⎪⎪1=α+β1=α−β+2γ1=−2α+3γ

Решим эту систему уравнений методом Крамера:

Δ=∣∣∣∣11−21−10023∣∣∣∣=−3−4−3=−10,

Δ1=∣∣∣∣1111−10023∣∣∣∣=−3+2−3=−4,

Δ2=∣∣∣∣11−2111023∣∣∣∣=3−4−2−3=−6,

Δ3=∣∣∣∣11−21−10111∣∣∣∣=−1−2−2−1=−6,

α=Δ1Δ=−4−10=25;β=Δ2Δ=−6−10=35;γ=Δ3Δ=−6−10=35.

 

Таким образом, s=25p+35q+35r.

ответ: s=25p+35q+35r.

Пошаговое объяснение:

Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] = 1 2 3 =

1 1 1

1 2 1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Пример 2. Доказать что три вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 3; 1} и c = {2; 2; 2} компланарны.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] = 1 1 1 =

1 3 1

2 2 2

= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 - 1·2·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 6 + 2 + 2 - 6 - 2 - 2 = 0

ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.

Пример 3. Проверить коллинеарны ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}, d = {3; 3; 3}.

Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования

( 1 1 1 ) ~

1 2 0

0 -1 1

3 3 3

из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3

~ ( 1 1 1 ) ~ ( 1 1 1 ) ~

1 - 1 2 - 1 0 - 1 0 1 -1

0 -1 1 0 -1 1

3 - 3 3 - 3 3 - 3 0 0 0

к 3-тей строке добавим 2-рую

~ ( 1 1 1 ) ~ ( 1 1 1 )

0 1 -1 0 1 -1

0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 0 0 0

3 - 3 3 - 3 3 - 3 0 0 0

Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора