Вычислить площадь фигур, ограниченных указанными линиями: y=-(2/9)x^2+(4/3)x. y=0

Добрый день! Конечно, я помогу вам решить эту задачу. Для начала, давайте разберемся, какие фигуры ограничены указанными линиями.

Первое уравнение, y=-(2/9)x^2+(4/3)x, представляет собой параболу (квадратичную функцию), так как есть x^2 в выражении. Коэффициент при x^2 отрицательный, поэтому парабола будет направлена вниз.

Второе уравнение, y=0, представляет ось x или горизонтальную линию, так как y всегда будет равно 0.

Теперь, пошагово решим эту задачу:

1. Найдем точки пересечения параболы и оси x, то есть когда у=0. Подставим значение у=0 в уравнение параболы:
-(2/9)x^2+(4/3)x=0

2. Перенесем все элементы в одну сторону уравнения:
-(2/9)x^2+(4/3)x=0
Умножим каждый элемент уравнения на 9, чтобы избавиться от дробей:
-2x^2 + (12/3)x = 0
-2x^2 + 4x = 0

3. Проведем факторизацию:
x(-2x + 4) = 0

4. Рассмотрим каждый множитель в отдельности:
a) x = 0
b) -2x + 4 = 0

5. Решим уравнение -2x + 4 = 0:
-2x + 4 = 0
-2x = -4
x = 2

Итак, мы получили две точки пересечения: x=0 и x=2.

6. Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы должны найти интеграл функции параболы между значениями x=0 и x=2.

Площадь = ∫[0, 2] (-(2/9)x^2+(4/3)x) dx

7. Вычислим данную площадь, проинтегрировав функцию:
Площадь = [-2/27x^3 + 2/3x^2] на интервале [0, 2]

8. Подставим значения x=2 и x=0 в полученную формулу и вычислим площадь:
Площадь = (-2/27 * 2^3 + 2/3 * 2^2) - (-2/27 * 0^3 + 2/3 * 0^2)
Площадь = (-16/27 + 8/3) - (0)
Площадь = (-16/27 + 24/27)
Площадь = 8/27

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной указанными линиями y=-(2/9)x^2+(4/3)x и y=0, равна 8/27.

Интересно заметить, что данная площадь на самом деле представляет собой площадь под параболой, ограниченную осью x и заданными значениями x=0 и x=2. В данном случае, площадь оказывается положительной, так как коэффициент при x^2 отрицательный, и парабола направлена вниз.

Надеюсь, данное объяснение было понятным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.