Из 5 pазличных книг A, B, C, D и E отбиpаются 3 книги. Пpедположим, что все события pавновозможны. Чему pавна веpоятность того, что будут отобpаны обе книги A и B ?​

склеим книги А и В

благоприятные события (АВ)С  (АВ)Д  (АВ)Е-3 штуки

всего событий 4*3/2=6

3/6=1/2

Чтобы ни написанные числа, ни суммы некоторых из них не делились на 13, нужно подобрать числа вида 13k+m с такими условиями:
  *1*)  k может принимать значения от 0 до 155 (число не может превышать 2015=13*155)
   *2*) m может принимать значения от 1 до 12 (остаток от деления на 13)
   *3*) сумма любой комбинации остатков m не делитсся на 13
Например, такой набор из 3х чисел:
   14 = 13*1+1 (m=1)
   41 = 13*3 + 2 (m=2)
   131 = 13*10 + 1 (m=1)
Какие бы мы ни взяли два числа из этого списка, или все три, сумма не будет делиться на 13:
14+41 = 55 = 13*4+3
14+131 = 145 = 13*11+2
41+131 = 172 = 13*13+3

А) Пример такого набора из 7 чисел (для удобства возьмём такие числа, у которых остатки m одинаковые, например m=5):
18, 31, 44, 57, 70, 83, 96

Б)  Максимум чисел в наборе может быть 12 (см. условие *2*)

В) Берем максимально возможное число - 2014 (2015 не подходит, так как оно делится на 13)  и последовательно вычитаем из него 13. Получаем 12 чисел:
2014, 2001, 1988, 1975, 1962, 1949, 1936, 1923, 1910, 1897, 1884, 1871.
Их сумма равна:
2014+2001+1988+1975+1962+1949+1936+1923+1910+1897+1884+1871=23310

Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º. 
Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АКД
Рассмотрим рисунок.Не составит труда доказать, что треугольники ВКС и АКД - подобны. 
∠ К в них - общий,ВС||АД,∠ КСВ=∠КДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей. 
Коэффициент подобия АД:ВС=14:7=2
Тогда АК:ВК=2
АК=АВ+ВК
(АВ+ВК):ВК=2
(8+ВК):ВК=2
8+ВК=2ВК
ВК=8
Пусть точка касания окружности и прямой СД будет М
Соединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М.
Так как углы ОМК и АКМ прямые, ОМ и АК - параллелльны. 
Рассмотрим треугольник АОВ.Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны.
Треугольник АОВ - равнобедренный. 
Проведем в нем высоту ОН.Эта высота - и медиана ( треугольник ведь равнобедренный).Следовательно, НВ =АВ/2=8/2=4.
Рассмотрим четырехугольник НКМО.Это прямоугольник с равными сторонами НК=МО.МО - радиус окружности. 
НК=НВ+ВК=4+8=12
МО=НК=12 
Радиус окружности равен 12.